不动点及群决策：数学定义与共识

偏好映射是建立在方案集弱序基础上的偏好信息的一种表示方式或者表示方法，现实中，许多类型的偏好信息都可以表示成或转换成偏好映射的形式，因为它的表示基础是集合以及其上的弱序关系。比如，允许平局的偏好序、效用值（实数集及其有序性）、模糊评价值（模糊数集及建立在其上的排序规则）、语言评价值（语言集以及语言算子之间的可比性）等。

群决策中的共识，直观上意味着个体的偏好信息之间有“公共的部分”，因此，可以定义共识（consensus）如下。

定义5.4　假设m个个体的偏好映射分别为…，这m个个体或m个偏好映射是共识的，当且仅当

式5.1的意义还是很明显的：当所有的个体在所有的方案上的偏好都有公共部分时，则说这些个体是有共识的。同时，式5.1和另外一个式子等价，如下所述。

定理5.1　假设m个个体的偏好映射分别为条件∀i等价于

证明：∀i（≠∅）是显然的，即如果所有的交不为空，则任意两个的交也不为空。下面证明如果∀i，j，k则能推出∀i(www.xing528.com)

采用反证法。假设∀i，j，k∩…∩不成立，即，∃i*由性质5.1知，偏好映射的每个分量都是非空集合，且其中包含的是自然数，如果包含的自然数个数大于1个则包含的是连续自然数，因而，如果∃i*则找不到一个自然数ε满足

即有

令使该式成立的两个上标分别为k＇和k″，即再应用性质5.1知，都是非空集合，其中包含的是自然数，如果包含的自然数个数大于1个则包含的是连续自然数，因而若从而现在可知∃i*，k＇，k″（这与已知∀i，j，矛盾，因而假设∃i*是不成立的，从而∀i（成立。证毕。

定理5.1说明，所有的人有共识等价于两两有共识，这个结论为以后在评价共识、寻找冲突时应用“两两比较”方法提供了理论依据。

从共识的数学定义可以看出，式（5.1）有效地反映了群决策中的两个事实：两个偏好映射不一样，却可能是共识的；偏好映射之间的共识关系不一定传递。这个结论的数学基础是集合的交的性质：两个集合有交，它们并不一定相等；三个集合A，B，C，若A和B有交同时B和C有交，但A和C不一定有交。