多准则决策的弱序偏好表示与映射

时间：2023-08-09 理论教育版权反馈

【摘要】：定义5.1称序列（ξi）n×1为方案集X相对于弱序的优先序列，当且仅当ξi＝∈X，AiAk｝。在定义5.3中，偏好映射的元素表示方案的可能排序位置，其中处于平局的几个方案共同占据连续的几个位置。从偏好映射的定义5.1～定义5.3可知，关于方案集的一个偏好映射构成了方案集的一个有序划分，偏好映射的一个分量对应一个方案的等价类，不同的等价类之间具有优劣关系。因此，偏好映射具有下列性质。

多准则决策的弱序偏好表示与映射

假设个体偏好信息是用（或可以用）允许平局的偏好序给出的，允许平局的偏好序是建立在弱序（weak ordering）关系≼上的，一个集合上的弱序对应着对集合的一个有序划分，相同的划分块里的元素构成平局（无差异关系～）。

设X＝｛A1，A2，…，An｝表示方案集合，令≼为建立在该方案集合上的一个弱序关系，令I＝｛1，2，…，n｝。

定义5.1　称序列（ξi）n×1为方案集X相对于弱序≼的优先序列，当且仅当ξi＝∈X，Ai≺Ak｝。

在定义5.1中，优先序列的元素对应着方案的优先集。比如，令X＝｛A1，A2，A3，A4｝，建立在该方案集上的一个弱序为A2≻A3～A4≻A1。因为方案A1，A2，A3和A4的优先集分别为｛A2，A3，A4｝，∅，｛A2｝和｛A2｝，所以，弱序A2≻A3～A4≻A1对应的优先序列为（｛A2，A3，A4｝，∅，｛A2｝，｛A2｝）T。

定义5.2　称序列（ηi）n×1为方案集X相对于弱序≼的无差异序列，当且仅当ηi＝Ak∈X，Ai～Ak｝。

在定义5.2中，无差异序列的元素对应着方案的无差异集。比如，看上面的弱序A2≻A3～A4≻A1，方案A1，A2，A3和A4的无差异集分别为｛A1｝，｛A2｝，｛A3，A4｝和｛A3，A4｝，所以，弱序A2≻A3～A4≻A1对应的无差异序列为（｛A1｝，｛A2｝，｛A3，A4｝，｛A3，A4｝）T。

定义5.3　称序列（ζi）n×1为方案集X相对于弱序≼的偏好映射，当且仅当ζi＝｛（绝对值表示集合的基数）。

在定义5.3中，偏好映射的元素表示方案的可能排序位置，其中处于平局的几个方案共同占据连续的几个位置。比如，看上面的弱序A2≻A3～A4≻A1，其对应的偏好映射为

即方案A1排在第4位，方案A2排在第1位，方案A3和方案A4一起占据第2位和第3位，表示A3或者排在第2位或者排在第3位，A4也是这样。

说明：在文献［62-64］中，偏好映射（preference map，PM）被称为“偏好序列向量”（preference sequence vector，PSV），偏好映射是在文献［65］中使用的，因为定义5.3定义的偏好序列并不是传统代数意义上的向量，比如，这样定义的偏好序列之间不能进行普通线性代数中向量的加减、数乘运算。

从偏好映射的定义5.1～定义5.3可知，关于方案集的一个偏好映射构成了方案集的一个有序划分，偏好映射的一个分量对应一个方案的等价类，不同的等价类之间具有优劣关系。因此，偏好映射具有下列性质。

性质5.1　一个建立在方案集X＝｛A1，A2，…，An｝上的偏好映射（ζi）n×1，具有如下性质：(www.xing528.com)

（1）∀i，ζi⊆I，且ζi≠∅（偏好映射的分量是非空等价类）。

（2）＝I（等价类是划分块，划分块的并集等于全集）。