经典的距离测度与Cook-Seiford距离

在数学里，距离测度的数学定义如下［53］。

定义4.1　设Ω为一集合，函数d：Ω×Ω→R，如果x，y，z∈Ω，且满足：

（1）d（x，y）≥0，且d（x，y）＝0当且仅当x＝y（非负性）。

（2）d（x，y）＝d（y，x）（对称性）。

（3）d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y）（三角不等式）。则称d为Ω上的一个距离测度。

Cook和Seiford首先给出了个体偏好序的表示方法，称为Cook-Seiford向量［50］。一个允许平局的偏好序用一个Cook-Seiford向量来表示，其分量表示方案的可能排序位置，如果有平局，那么平局中方案占据连续位置，且在Cook-Seiford向量中都用连续位置的中点表示。例如，一个含平局的偏好序为x1≻x2～x3≻x4～x5～x6≻x7，则其对应的Cook-Seiford向量为

［1，2.5，2.5，5，5，5，7］T(www.xing528.com)

其分量表示对应方案的排序位置。

然后，Cook和Seiford定义了一个满足定义4.1条件的距离，来描述两个Cook-Seiford向量之间的距离［50］。

定义4.2　设A＝［ai］n×1和B＝［bi］n×1是两个Cook-Seiford向量，它们之间的Cook-Seiford距离定义为

例如，有另一个含平局的偏好序为x3≻x2≻x1～x4≻x5～x6≻x7，其对应的Cook-Seiford向量为［3.5，2，1，3.5，5.5，5.5，7］T。这个向量和本小节前面的Cook-Seiford向量［1，2.5，2.5，5，5，5，7］T的距离为

（3.5-1）+（2.5-2）+（2.5-1）+（5-3.5）+（5.5-5）+（5.5-5）+（7-7）＝7