基于不动点法的多准则决策与群决策

考察前面提到的当前多准则决策中存在的问题，可以看到问题反映在结果之上，而原因应该在过程之中。在讨论的问题出现的过程中，都涉及了集结准则与归一化，尤其是当采用某一集结准则结合不同的归一化方法时会得出不同的决策结果。因此，问题应该聚焦在集结准则的选取和归一化方法的使用上，这既是产生问题的原因，也提示了解决问题的思路，那就是：针对不同类型的决策信息，采用什么样的集结准则以及归一化方法从而避免或解决前面指出的问题呢？

如前所述，乘性互补判断矩阵［pij］n×n的元素pij表示被比较因素xi和xj在某指标上权重的比率（即倍数），从而如果判断矩阵是一致性的，则有pijpjk＝pik，即蕴含着“如果A是B的2倍，同时B是C的3倍，则A是C的2乘3等于6倍”。模糊判断矩阵［μij］n×n的元素μij，表示在某指标上被比较因素xi比xj优的程度，如果xi和xj一样则μij＝0.5；如果判断矩阵是一致性的，则有μij+μjk-0.5＝μik，从而（μij-0.5）+（μjk-0.5）＝μik-0.5。因为0.5意味着无差异，因而“减0.5”可以看为是优于程度的纯粹量，则模糊判断矩阵的互补性条件可以写为（μij-0.5）+（μji-0.5）＝0，意味着“优于程度纯粹量的互补性”；而模糊判断矩阵的一致性条件蕴含着“优于程度纯粹量的传递性”，即“如果A优于B的纯粹程度是0.2，同时B优于C的纯粹程度是0.3，则A优于C的纯粹程度是0.2加0.3等于0.5”；同时，一致性模糊判断矩阵对应的权重向量也可以写成“优于程度纯粹量”的形式，即μij-0.5＝（τi-0.5）-（τj-0.5）。

对于相同因素之间的比较，乘性判断信息和模糊判断信息如果都是准确的，那么这两种信息应该是等价的。正如苹果1的体积是10立方厘米、苹果2的体积是5立方厘米，在比较两个苹果的体积大小时，如果正确应用乘性信息将得到苹果1是苹果2的2倍，如果正确应用加性信息将得到苹果1比苹果2大5立方厘米，这两种不同的判断信息在描述两个苹果之间的体积大小的比较结果时是等价的。判断（偏好）信息的这种等价性在数学上就是某种同构对应关系。因此，将不同的偏好信息纳入不同的代数系统，然后建立同构对应关系，并考察偏好信息的表现形式、各自运算的性质，可能是解决已有问题的一种思路。(www.xing528.com)

对解决AHP中存在的问题，Barzilai等提出应用“群”这个代数系统，并建立了乘性互补判断矩阵与加性互补判断矩阵的对应关系［14，15，17］；本书作者曾经尝试应用半环［32，33］、线性有序阿贝尔群来讨论乘性互补判断矩阵与模糊互补判断矩阵之间的对应关系［37］。本书将采用半域（semifield）探讨乘性互补判断矩阵、加性互补判断矩阵与模糊互补判断矩阵之间的同构对应关系，这一思路是作者在2017年10月受邀参加INFORMS 2017年会并做40分钟分会场报告时提出的［38］。