数学教学设计：生活化与初中数学教学的融合

本课题是数学学科与物理学科整合的一个课题，本课题是在学生学习了函数的概念、正比例函数和一次函数以及它们的图像，并且意识到一次函数在生活中重要的应用之后安排的一节“综合与实践”活动课。胡克定律是初中九年级物理中学习弹簧测力计时，教科书中以知识小卡片的形式出现的一个物理规律。它是这样描述的：在弹性限度内，弹簧测力计的伸长量跟所挂物体的重力成正比。但在书中并没有详细介绍这个物理规律的生成过程，本课题以胡克定律探究实验的方式导入，既能够激发学生参与本节“综合与实践”活动的兴趣，又能提前通过数学学习学习到物理知识，从根本上理解这个物理规律的来龙去脉，并用数学的思维去思考、学习物理，是一举两得的事。

【教学准备】

1.教学内容分析

本次“综合与实践”是以物理实验的方式进行的，以一个物理实验呈现素材作为师生分析问题的载体。在课堂上，教师将准备好的弹簧测力计、钩码分发给各个学习小组，学生在课上通过亲自动手测量和记录，得到很多组数据。在这个动手实验的过程中，学生通过梳理数据，能够锻炼其数据分析能力，同时将得到的数据对，在图像上描述出来，即画出散点图，观察数对的分布特征，从而联想到所学的一次函数图像，发展学生的直观想象能力，并能根据函数图像，获取信息，解决问题。同时，为今后学习二元一次方程组打下基础，并且能够为后面进一步上好“综合与实践”活动课提供可供参考的案例。

2.学情分析

学生已经学习了函数的概念、一次函数与正比例函数、一次函数的图像，并且在学习的过程中体会到了一次函数的广泛应用。在七年级的时候，学生还积累了一些收集并整理数据的活动经验，具有一定的数感。在此基础上，学生通过亲自动手参与物理实验的过程，感受数学建模的数学核心素养，学会建立一次函数的方法，并能应用一次函数的模型去解决问题。此时的学生刚刚接触物理这个学科不久，尤其对动手做物理实验有很大的兴趣，能进行自主的探究活动。

3.教学目标

经历探究“胡克定律”的物理实验的过程，通过收集数据、梳理数据、画图、数形结合观察图像、运用数学知识的过程，理解一次函数并能应用它解决数学问题，发展学生数形结合意识，培养数学抽象素养、创新意识和数学应用意识，体会数学与其他学科的联系，丰富数学活动经验，进而培养学生对数学学科的好奇心和求知欲。

4.教学重难点

教学重点：一次函数的实际应用。

教学难点：从图像中联想到一次函数，并能够根据图像获取有用的信息。

5.教学手段及准备

弹簧测力计、钩码、刻度尺和教学课件。

【教学过程设计】

（一）环节一：发现并提出问题

1.创设情境，提出要求

如图10-15所示，出示弹簧测力计和钩码，并分发给各个小组，观察弹簧测力计挂上钩码之后弹簧测力计的变化。

图10-15　弹簧测力计和钩码

（说明：弹簧原长15cm，钩码每个重0.5N）

用弹簧测力计测量钩码，记录物体的重力和弹簧测力计中弹簧的长度。试探索，弹簧的长度与所挂钩码多少之间有什么样的规律？

2.提出并弄清问题

①什么叫弹簧的原长？伸长量是什么？弹簧测力计的弹性限度是什么？

②影响弹簧伸长的因素有哪些？

③怎么样梳理数据更方便些？

④可以借助什么工具获取信息更方便些？

师生活动：教师演示实验，引出本节课题，学生根据教师提示，进行实验操作，并记录数据。

设计意图：用学生参与动手进行探索物理规律的方式引入本节课，能够激起学生学习欲望，让学生在动手“玩”的过程中体会数学思维的严谨性，从而进一步澄清问题，明确本节“综合与实践”活动课所要研究的问题和需要注意的地方。通过教师对学生的引导，提出数学问题，培养问题意识。

（二）环节二：分析并解决问题

1.分析问题(www.xing528.com)

学生通过实验得到多组数据，先自主整理，在小组内部分享整理数据的方法，可以用表格整理数据，便于观察。

师生活动：整理数据的方法有多种，学生能够提出自己整理数据的方法并能表达清楚，教师都应给予鼓励。

2.解决问题

通过观察表格，发现有两个变量，把重力记作x，把弹簧的长度记为y，若想要直观地表示这两个变量之间的关系，通常采用什么办法直观地表示变量呢？

师生活动：教师引导学生联想研究两个变量时通常采取什么样的方式方法，若学生不能独立思考想出解决办法，可组织学生小组内部讨论，交流想法。

将数对表示在图像中，并描述点的分布特征，然后试着用直线把它们连起来，如此能够联想到什么函数呢？尝试求出这条直线的解析式。求解析式时，可以用什么方法？

通过观察图像，用待定系数法求出直线的表达式，结合图像得出弹簧测力计的伸长量与所挂物体重力之间成正比的关系，这就是胡克定律。

师生活动：教师要和学生讲清实验可能存在的误差。数据测量上学生可能不统一，但描出的这些点大致在一条直线上，教师可引导学生回忆画一次函数图像的过程，从而联想到本节课所学。

3.模型应用

思考1：如果弹簧测力计悬挂4.5N的钩码，这时弹簧伸长多少cm？

思考2：若弹簧的弹性限度最多伸长24cm，那悬挂的钩码不能超过几个？

师生活动：教师出示思考题，学生进行模型的应用。

思考1：x=4.5时，y=4×4.5+15=33cm，则此时弹簧伸长了33-15=18cm。

思考2：4x+15≤24+15，可得到x≤6，则悬挂的钩码不得超过6个。

设计意图：这个环节用物理实验呈现素材，作为师生分析问题的载体，引发学生对于现实问题的关注和思考，引导学生收集实验数据，并指导学生梳理数据和直观地表征数据，由数到形，数形结合，进而联想到一次函数模型，接着用两个互逆的问题引发学生运用一次函数来解决问题。

4.模型的进一步应用

问题描述：给出一个图像（如图10-16所示），结合图像编故事。

图10-16　图像

师生活动：教师请同学们根据图像编一个符合实际生活的小故事，学生们先独立思考，再小组合作交流，畅所欲言表达自己的想法。

教师结合图像（如图10-17所示），讲述“龟兔赛跑”的故事：兔子以800米/分钟的速度跑一段时间，然后呼呼大睡了一觉，睡了15个小时，再以m米/分钟的速度到达终点，这时兔子发现，始终以同一速度前进的乌龟正在庆祝比赛的胜利，请结合故事在图像中标出这些具体数据。

图10-17　图像

提出问题：能根据图中数据求出a，b，m的值吗？结合故事情节，m值有何含义？E点有什么含义？如果乌龟的速度是16.5米/分钟，则乌龟在哪一时刻能看到停下休息的兔子？乌龟完成比赛的时刻是什么时候？乌龟比兔子早几分钟到终点？

进一步拓展：续写“新龟兔赛跑”故事，结合今天所学根据故事画图像，读图获得信息，用数学方法解决。

设计意图：通过图像编故事，再根据故事在图中标出数据，以数助形，获取有用信息，引发学生兴趣，一方面引导学生从函数图像中获取信息，从而加深对一次函数的认识，另一方面使学生通过确定一次函数表达式的方法验证读图的准确性，而且锻炼了学生语言表达能力，积累了数学活动经验。学生主动参与课堂研究，从而解决问题，进一步夯实一次函数模型。

（三）环节三：总结并反思问题

课下同学们思考一下，生活中或者其他学科中还存在哪些数学问题，通过今天的学习，谈谈学习感受，形成一个报告。

设计意图：通过归纳总结，交流学习所得，进一步梳理一次函数模型以及用一次函数模型解决简单问题的一般思路。