初中数学教学的生活化融合：分析难度综合模型

应用性问题综合难度分析模型是在鲍建生老师的课程综合难度分析模型的基础上建立的，本模型建立的目的主要是为了对初中数学教材中的应用性问题进行难度分析，从而给出教师在应用性问题教学方面的建议。笔者根据应用性问题的构成要素，将其纵向分为背景、运算、推理、知识点数及干扰条件五个难度因素。

背景是指应用性问题的背景材料，是学生在解题前必须进行阅读的数学材料。背景材料的难易程度会直接影响学生对题目的预先判断。比如说下面这道题：

某地下车库出口处“两段式栏杆”如图9-1（1）所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点。当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图9-1（2）所示，其示意图如图9-1（3）所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）。（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

图9-1　两段式栏杆图

这是一道利用三角函数去求点到地面的距离的题，背景材料为某地下车库出口处“两段式栏杆”的工作原理，很多学生在阅读材料时出现问题，没有很快抓住题目要领，运用三角比的知识去求解。

运算是学生在数学学习中必须掌握的基本技能，运算能力是数学课程所要培养学生的基本能力之一。数学是一门逻辑性很强的学科，在应用性问题的解题过程中，上一步的运算结果往往是下一步运算过程中需要的数据，环环相扣，学生需要对每一步的数学运算都非常小心。因而，笔者认为运算的步骤也是影响应用性问题难度的因素之一。

推理是学生在解答应用性问题时，将脑海中的数学知识点或模型与题目中所给出的条件结合的过程。推理与数学阅读往往是相伴而行的，学生对题目的推理过程能够体现其自身的逻辑能力。

知识点数是指应用性问题中所包含的知识点数量。应用性问题的难度是随着知识点数量的增加而增加的。(www.xing528.com)

干扰条件是指在应用性问题的背景材料中出现了没有被使用的条件。干扰条件能够有效地考查学生的数学阅读能力和推理能力，是对学生数学认知水平的进一步检验。我国的数学应用性问题往往是用到几个数学条件就在阅读材料中给学生几个数学条件，这样即使学生不明白解题步骤，仅仅将材料中的数据进行胡乱处理，也有较大可能性得到正确的答案。因而，笔者认为干扰条件的数量也能够影响应用性问题的难易程度。

在确定了综合难度模型的五个难度因素之后，笔者还将每个因素进一步划分为若干个水平。对此，笔者严格遵从两条基本原则：一是层次性，即所划分的两个相邻水平之间要有较为清晰的层次差异；二是可操作性，使得对每道应用性问题都能够得到清晰的界定，不会因个人的主观因素而出现显著的差异。根据这两条原则，再结合数学的特殊情况，笔者将每个难度因素分别划分为如表9-1所示的三个水平。

表9-1　综合难度因素的水平划分

笔者将背景难度因素的水平划分为日常生活情境、科学情境和专业领域情境。对这三个概念，笔者做一下解释和区分。

日常生活情境是指应用性问题的背景材料源于学生的日常生活，学生能够轻松地理解。比如，一个田径场由两个半圆和一个正方形组成，这句话虽然描述得比较抽象，但学生在学校里都见过田径场，所以理解起来没什么难度。

科学情境又称为假设情境，是指应用性问题中的阅读材料在现实生活中很难做到，但又能够被学生较为轻松地理解。比如，将一个蛋糕看成一个总体，将它平均分成8份。生活中我们很难做到将一个物体平均分，因而将蛋糕平均分成8份只是一种假设状态，学生理解起来也并不困难。另外，科学情境还包含部分以科学知识为背景的阅读材料，如水星、火星、月球的直径分别约是地球直径的19/50，1/2，869/3189，这一背景材料就属于科学情境。

专业领域情境是指应用性问题背景材料中出现了超出学生日常生活经验的句子或词汇。比如，卖衬衫和卖皮鞋，甲商店与乙商店哪家店的盈利率更大？盈利率是经济领域的专用词汇。很多学生在解题的过程中，就会对盈利率这个名词感觉困惑，这就需要在教师的帮助下去理解。

其他难度因素的水平划分大家能够从其字面去理解，在此笔者不做过多的解释。