生活化教学提升学习积极性

（一）在几何概念教学中采取的教学方式

数学课程标准强调，“空间与图形”应注重学生经历从现实的生活空间抽象出几何问题的过程。平面几何概念是平面几何基础知识之一，是学生学好平面几何的前提条件，掌握不好，将直接影响几何的推理和证明。所以，平面几何概念的教学要注重从学生所熟悉的实例引入，让学生动脑、动眼、动口、动手，独立地去发现问题、解决问题，归纳结论，得出概念的本质属性，并适当通过对比加深理解概念。

1.在动手操作感知中形成概念

新教材要求几何概念的教学必须加强概念的形成过程，既要知其然，又要知其所以然。概念的学习往往经历“感知（具体）—概括（抽象）—应用（实际）”这样一个认知过程。而在这个过程中有两次飞跃，其中一次飞跃是“感知—概括”。也就是说，学生的认知活动是在具体感知的基础上，通过抽象概括，从而得出概念的本质的过程。在平面几何概念的教学中，如果学生对要学习的概念的形成过程不了解，没有能力开发和完善自己的学习策略，那就只能死记硬背和生搬硬套定义，结果是一知半解，似懂非懂，造成感知与概括之间的思维断层。因此，在几何概念的课堂教学中，要让学生了解概念的形成过程。动手操作是形成平面几何概念的手段之一，在课堂教学中尽可能地让学生自己动手操作，通过观察、分析，归纳出结论，再经过小组讨论、交流，最后形成统一的概念。这样，不仅使学生真正理解概念，掌握概念，又能激发学生的学习兴趣和求知欲，达到生生互动的目的，还培养了学生的观察、分析、操作、归纳和言语表达等能力。

例如，在进行三角形内角平分线概念的教学时，教师不要盲目代劳，也不要急于把结论端出来，更不要要求学生死记硬背定义，而应让学生亲自动手实践、操作，让学生在课前准备好的一个三角形的纸片上画出三角形一个内角的平分线，再在课前准备好的另一个三角形纸片上用折纸的方法折出三角形一个内角的平分线，引导学生观察两个三角形纸片上画出或折出的线，看看有什么共同特点。学生经过观察、分析、交流、讨论，自然地概括出三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线。这种让学生亲自动手操作，探索概念的形成过程，掌握概念的定义方法的做法，既能激发学生学习几何的兴趣，达到生生互动、师生互动的目的，又能使概念的内涵在学生脑海中根深蒂固，生根发芽，并能发展学生的能力。而且，这样的学习学生感到轻松而愉快，对学习几何充满信心，从而使其身心得到发展。

2.创设生活情境，形成概念

概念的形成需要经过从特殊到一般、从具体到抽象的过程，而几何中许多抽象内容往往源于现实世界。如果从学生熟悉的生活实际中引入平面几何概念，不仅能使学生感知书本知识与现实世界的密切联系，而且能引起学生的有意注意，激发他们学习书本知识的兴趣。因此，在平面几何概念的教学中，教师最好从学生熟悉的实例、实物出发引进平面几何概念，引导学生从实例中抽象出几何图形，着重分析图形的特征，然后用文字定义把概念表述出来，最后把概念与图形结合起来，这样使学生对概念的理解以图形为辅助，对图形的认识用概念描述，从而使学生能够真正理解几何概念的本质属性，并且在表述它们或运用它们进行思维的时候，头脑中能呈现出相应的图形及其基本的特征，而不是只会形式主义地死记硬背定义的字句。

例如，在讲授圆的定义时，让学生在已有的知识和经验上联系实际，观察生活中的例子——车轮，并设置环环相扣的问题串：

（1）车轮是什么形状的？

（2）为什么要把车轮造成圆形？难道不能造成多边形，如三角形、四边形吗？

（3）造成椭圆形可以吗？

（4）为什么造成圆形滚动起来就不会一会儿高，一会儿低呢？

学生经过独立思考再互相讨论、交流，答案是：“圆形车轮上的点到轴心上的距离相等。”（教师再通过直观教具，结合车轮画圆：把一根线的一端固定在黑板上，另一端系上一截粉笔，然后把拉紧的绳子绕固定点旋转一周，另一端上的粉笔所描出的图形就是一个圆）至此，学生很自然地归纳出圆的定义，即“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，进而培养学生的抽象思维能力。

3.联系生活实际，对比形成概念

几何概念是几何学习的核心。几何概念作为概念的一种，除了具有与一般概念同样的结构外，还具有本身特殊的思维形式特征：几何的任一概念都处在和其他概念的一定的联系中。几何概念是在人的意识中形成的概念，同表达它的语言、图形和符号是分不开的。图形、符号语言有助于概念、定理的理解及解决问题。因此，几何概念的学习是几何学习的关键所在。几何概念的学习一般有三个阶段：直观认识—图形抽象—本质抽象。因此，在几何概念教学中，其步骤一般为：

第一步，紧密联系学生的生活经验，利用对实物或模型等材料的直观认识，引出概念；

第二步，概括出概念的本质属性，逐步完成概念的定义，并以图形、符号辅助表示；

第三步，通过变图示举例揭示概念的本质属性；

第四步，置概念于特定的系统中加深对概念的理解。

例如，讲授概念“矩形”时，其步骤为：

第一步，观察教室里有哪些平面图形；

第二步，在学生举出的课桌面、窗户、门、粉笔盒中，看看有哪些共同的特征；

第三步，引导学生逐步完成“矩形”的定义，用图形、符号辅助语言叙述矩形概念；

第四步，举出一些图形实例，判断是否是“矩形”；

第五步，归纳总结平面四边形、平行四边形、矩形之间有怎样的关系。

同时，举例“学校、班级、个人”三者之间的关系，促进学生对“平面四边形、平行四边形、矩形”三者之间关系的理解。通过对比，加深学生对各种特殊平行四边形概念的理解，便于记忆，有利于把所学知识系统化，有助于培养学生思维的广阔性和求异性，从而提高学生的辩证思维能力。

总之，初中几何概念的教学中，要注重概念的形成过程，注重培养学生学习几何的兴趣、主动探索的意识、追求真知的精神。只有这样，几何概念的课堂教学才能称得上成功地完成。

（二）在几何定理教学中采取的教学方式

平面几何定理是初中平面几何的主要内容，反映的是基本图形的基本特性，即性质和判定。它是进行几何推理论证的主要依据之一。贯穿整个初中几何的大多数是几何定理的理解和运用，因此几何定理的教学应广泛高度重视。

小学生思维发展的特点是从具体形象思维向逻辑思维过渡，进入中学，思维发展的特点虽然是抽象逻辑思维开始向着优势方向发展，但机械记忆优势未发生根本改变，思维模式仍有明显的形象思维痕迹，具体表现在对数学知识不会用，喜欢做计算题，轻视概念等，易懂易忘，因此在学习中自然需要依靠具体直观的感情材料作为认识的支柱。故在几何定理的教学中，不能忽略学生的这些思维模式，应注意对学生独立思维、抽象概括和表达能力的培养。数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，要立足于把学生的思维活动展开，辅之以必要的讨论、启发和总结，使学生从几何定理的产生、发展、推出的过程中认识、理解几何定理，从而能应用定理，发展学生的能力，培养学生的品质。

1.引入数学史，激发学生探究定理的欲望

要使学生学好几何，必须先让学生掌握好几何定理。教师必须重视定理的教学。俗话说，身教重于言教。因此，教师要善于通过自己的行为影响、带动学生。如果教师在思想上十分重视定理的教学，必然在课堂教学中表现出来，学生也会认真学习定理。

例如，在“匀股定理”的学习中，笔者是这样引入的：“同学们，中国古代数学家们对于匀股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的‘形数统一’的思想方法，更具有科学创新的重大意义。这位伟大的数学家是谁呢？（学生屏住呼吸睁大了眼睛）——是赵爽，他的这个证明可谓别具匠心，既具严密性，又具直观性，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合与互不可分的独特风格树立了一个典范。接下来，我们同伟大的数学家一起经历探究真理发生、发展的生动历程。”（学生情绪高涨，跃跃欲试）接着，笔者说：“你们能不能利用手中的四个纸片拼出一个正方形（课前同桌准备好的四个全等的直角三角形硬纸片）？”话音刚落，学生都很快动手操作起来。

苏霍姆林斯基指出：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。”教师在教学活动中，要让学生真正成为学习活动的主体，为他们提供自主探究的机会。探究性学习重在引导学生掌握探究方法，获得亲身参与探究的体验，数学观念、科学态度、探究方法应渗透其中，注重学生感悟，通过一定量的积累自然内化为学生学习数学的本领，促进学生思维的发展。

2.联系生活实际，提高学生学习定理的主动性

兴趣是最好的教师，是学习动机的重要的主导成分。夸美纽斯认为，兴趣是创造一个欢乐和光明的教学环境的主要途径，学习兴趣是探求知识、理解事物的推动力。因此，在教学中努力挖掘教材的实质，联系学生感兴趣的生活原型，即联系实际，应用数学，无疑会激发学生的兴趣，从而认识到几何学是一门应用广泛、趣味无穷的学科。

例如，学习垂线段的性质定理“垂线段最短”之前，列举测量跳远成绩这一体育实例可以吸引学生的注意力，让学生产生兴趣。再如，学习几何定理“两直线平行，内错角相等”时，让学生仔细观察相关的标准图形，要求他们从多角度或转动去观察，从大小、位置、形状去观察，去无关图形观察，添加可能的图形等去观察，并去找与生活相关的实例，如公路两次拐弯后平行时的内错角情况，不仅加深了对定理的理解，还从中体会到应用几何的乐趣。

3.创设问题情境，在定理的教学中发展学生的能力

学生要学好平面几何，必须学好定理。学习一个定理，先要创设问题情境，阐明它发生、发展的生动历程。教学设计中应创设这样的背景：一是让学生明确知识引进的必要性，符合学生的心理认知规律，激发学习动机；二是以此为开端，围绕着对问题的分析解决，自然而然地引入有关概念、定理，得出有关结论，使学生懂得知识产生的合理性，引导学生揭示已有知识经验与新的任务之间的矛盾，引起认知冲突，进行新知的建构。

例如，在讲解“三角形中位线定理”时，先引入以下实例：为了测量一个池塘的宽度AB，有人在池塘外取一点C，连接AC，BC及其中点DE，量得DE的长度，便得到池塘的宽度。这个问题的提出，自然引起学生的好奇心，激发了学生探求知识的欲望，然后启发学生从例子出发，引入几何原型，探索得出三角形中位线定理，这比以教师为中心的教学方法优良得多。教学中注重学生在学习中的主体作用，从生活实际需要出发，充分调动学生学习的主动性、积极性，有利于诱发学生学习的内在因素，启发独立思考，培养学生分析问题、反映问题以及探究问题的能力，故能激活学生的思维发展能力。课堂上展开讨论，气氛热烈、和谐，这样才能鼓励学生大胆、合理地猜想，才能使课堂妙趣横生，从而营造一种学术的氛围，促使学生能积极参与，投入课堂学习中去，培养学生勇于探求真理等品质。

再如，在“相似三角形的性质”教学中，笔者是这样引入的：

教师：同学们，怎样才能知道国旗杆的高度？

学生面面相觑，不知怎么做（难在旗杆爬不上去，又不能放倒）。

教师：先测量你们的身高与影子的长度，并计算身高与影长的比值。

学生：比值近似相等。

教师：为什么？

学生：身高与影长成比例。

教师：为什么身高与影长成比例？

学生：人身高、影长与旗杆的高、影长构成的两个三角形是相似三角形。

教师：原来如此。(www.xing528.com)

教师：任意物体的高与影长构成的三角形与上述三角形相似吗？

学生忧然大悟，很快地算出了旗杆的高度，进一步归纳出相似三角形的有关性质。

创设这样的问题情境，把数学知识赋予生活化的背景——数学知识生活化，明确知识引进的必要性，符合学生的心理认知规律，这样一方面可以激活学生的思维和兴趣，使之产生内驱力，智力活动达到最佳状态，提高解决问题的能力；另一方面可以沟通生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的联系，同时也让学生的逻辑思维能力、操作能力在探究过程中得到充分的发展。

4.在定理应用中培养学生能力

学生在学习定理时产生的困惑是，不理解定理是进行推理的依据；找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形；推理过程混乱，因果关系模糊不清。因此，要精心设计例题，通过具体习题，对学生进行有意识“用定理”的训练。

例如，在学习定理“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”时，设计问题：“小明沿坡角为30°的斜坡前进了100米，问实际升高了多少？”教师可以让学生自己构造定理成立的条件——直角三角形，进一步利用定理解决问题，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。教学中更应注重培养学生主动“找定理”的能力，如存在“角平分线上的点”，就应联想到定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，因此向角的两边做垂线，构造适用定理的条件——点到这个角的两边的距离，培养学生的问题解决能力。

（三）在几何推理中采取的教学方式

1.在生活化思维训练中培养学生的逻辑思维能力

中学平面几何教学的目的是，不仅要使学生掌握平面几何中的基础知识和基本技能，更重要的是，通过几何教学发展学生的智力，使他们学会思考问题的方法，学会符合逻辑的推理论证，进一步提高他们分析和解决实际问题的能力。衡量一个中学生的几何是否掌握好，人们总要先看他几何命题推理论证的能力。

几何中的推理是指借助于一些公理、定义、定理来断定某一命题真实性的推理过程。每一种技能、技巧及心智技能的获得，都是主体反复练习、反复实践的结果。

案例：如图7-2所示，直线a∥b，∠1=40°，∠7的度数为多少？说明理由。

图7-2　平行

分析：此题是平行线性质的简单应用，但是对学生几何推理过程书写要求比较高，对学生逻辑思维的要求是质的飞跃。教学中，有的学生这样说理：“因为a∥b，∠1=40°，所以∠1=∠5。”学生不明白“只要a∥b，就有∠1=∠5”，不需要任何附加条件，其实就是学生对性质“两直线平行，同位角相等”的条件与结论。为此，笔者举例如下：“因为降温了，几何作业做完了，所以天冷了。”对此生活化的实例，学生很容易理解“几何作业做完了”与“天冷了”没有因果关系。也就是说，“∠1=40°”与“∠1=∠5”没有因果关系，所以“∠1=40°”应去掉。

几何推理能力的培养同时培养了学生的逻辑思维能力，为学生养成科学的思维方法以及严谨的学习态度创造了条件。

2.“做中学”提高学生的推理能力

心理学家布鲁纳说过，学习最好的动机就是对所学学科的兴趣。比如，在“折叠中的数学”教学中，实验班采用生活化教学。

以下是“生活中的折叠”案例设计：

教师：同学们，生活是美好的，数学源于生活，它也不例外，生活中一张小小的纸片就存在着许多美。

教师：折叠一张矩形纸条，只要轻轻一折就会有所发现，你们想试一试吗？

（多媒体演示，如图7-3所示，学生动手实践，发现问题并讨论交流）

学生1：我发现∠1=∠2，∠1=∠3。

学生2：我发现AE=AF（等腰△AEF）。

教师：你们能否利用此发现设计一道小题考一考大家？

学生：∠1=40°，∠3=_____，∠EAF=_____。

教师（多媒体演示或投影）：把矩形纸片折叠，使点D落在边BC上，如图7-4所示，你有什么发现？

学生动手折叠，然后交流。

图7-3　矩形

图7-4　矩形

学生1：我发现△ADE≌△AFE。

学生2：我发现EF=DE。

学生3：我发现AD=AF。

学生4：我发现∠AFE=∠ADE=90°。

学生5：我发现∠DAE=∠FAE。

教师：我想就此图出一道题考考大家。矩形的长AD=10cm，宽AB=6cm，则BF=____。

学生讨论交流或独立思考，很快得出答案：BF=8cm。

教师：DE=____。

解：CF=2，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，在Rt△CEF中，由匀股定理得x2=（6-x）2+4，即

本节选取了通过动手折叠活动操作，使学生从数学的角度发现了问题——折叠后可求角度、长度，判断三角形的形状，进而又通过相关问题挑战自我，挑战他人，增强了学生的参与意识，提高了问题解决能力。

3.在问题解决中培养学生良好的推理能力品质

几何证明是根据公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一几何命题的真实性的推理过程。几何证明过程往往表现为一系列的推理，即证明命题真实性的推理过程。对过程的理解、运用就是对学生进行推理能力的培养和训练。几何证明培养着学生的思维品质，如从已知“找”到求证，从求证追索到已知等。在几何教学中，笔者认为应注重培养学生的观察力，向学生明确指出观察能力培养的重要意义，应克服视而不见的毛病，观察越细致，认识将越深刻。有了观察，就会产生思维、联想，有利于理解和体察它的存在。

例如，遇到梯形的计算或者证明问题时，首先引导学生必须清楚遇到梯形问题都有哪些辅助线可作，然后再具体问题具体分析。举个例子，如果题目中说到梯形的腰的中点，学生将会想到什么？第一，应想到梯形的中位线定理。第二，应想到可以过一腰的中点平移另一腰。第三，应想到可以连接一个顶点和腰的中点，然后延长去构造全等三角形。只有这几种可能用到的辅助线烂熟于心，才能很好地解决问题，学生反映在证明和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。经过这样的训练，再遇到直角三角形时，学生很自然地就可以联想到直角三角形的很多性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半；

（3）匀股定理；

（4）两锐角互余等。

综上所述，在教学中教师应有高度的责任心，吃透教材大纲，充分运用启发式、讨论式等教学方法，注重师生交流，建立良好的师生关系，把学生主体和教师主导作用有机地结合起来，从而提高课堂效果。