初中数学教学中融入数学史的意义

中国数学教育家徐利治曾经说，数学史不仅反映了数学思想的萌芽、出现、发展的客观过程，而且也反映了数学成果创造的背景、动力及发展的规律，从而促进新的数学研究者遵循历史，总结并扬弃前面的数学思想方法，为人类的数学文化发展做出继往开来的贡献。在数学教育中渗透数学史，不仅能够丰富学生的文化素质，激发学生的数学学习兴趣，而且可以促进学生理解数学。学习数学史，还可帮助学生建立史学观念，了解数学概念、数学思想方法产生的客观历程，体会数学发展中的收获和艰辛、欢喜与痛苦，促使学生受到激励与鼓舞，提高学习的积极性。

（一）促进形成科学的数学观

数学观是指人们对数学的最基本的看法、最本质的认识。数学教师的数学观总是体现在日常的数学教育中，如果将数学看成是纯理论的学科，普通人可以不了解数学知识的发展历程，那么必然导致数学教育就是纯粹的知识传授。于是，数学就是许多现成的概念、性质、公式、定理，学习数学无非就是背诵数学结论、论证数学命题。数学教育家贝尔曾经说过，改革数学教育最关键的任务是增强教师、学生对数学的整体认识和宏观理解，觉得数学是以数学家自创的许多公理、定义和规定为出发点，人们由这些推出新的结论的观念要彻底改变。学习数学史能够认识到：

首先，数学这门学科既有系统的演绎性，也有实验的归纳性。世界数学发展通史中记录的丰富的数学史实充分表明，数学知识的产生过程与其他实验学科类似，在正确结论获得之前，要先猜测认为正确的内容，再尝试运用多种方法论证，只有通过了严谨的证明，最后才能说明结论的正确性。其中，证明的方法又是多样的，有时需要严密的逻辑思维，有时需要借助于形象思维，有时要数形结合等。在数学教材中，通常只写经过了证明的结论，隐去了结论发现的曲折或漫长的过程。这样，会导致在数学教学中过于偏向演绎推理，而忽略数学知识产生的类比和归纳过程，导致学生认为数学是从几个公理、定义出发，通过演绎推理直接产生的，这样误解了数学发生的本质。在数学教育中，我们要充分体现数学发现的多面性，在进行演绎推理训练的同时，也要积极进行合情推理（一般包括归纳和类比）的训练，特别是在演绎证明前，指导学生猜测，引导学生探究和论证，使学生体验发现的过程。

其次，数学在不断提出问题和解决问题的过程中发展和完善。通过数学史可以看到，在数学发展的每一阶段，都有许多引起数学发展的问题，由于这些问题的大量提出，人们立即探求问题的解决办法，如此循环，促进了数学学科不断繁荣发展。通过学习数学史，可以帮助学生认识数学问题是怎样产生的，又是如何提出的，数学问题是怎样分析的，又是如何逐步解决的，在解决问题的过程中思路是怎样获得的，结论是如何形成的。法国数学教育家迪多内说，学校初等数学内容中提供的许多问题都是已经解决的，而且解决的过程也是毫无新意的，这样学生不知道现在还有许多未解决的数学问题，这些问题也是数学研究的对象。由于现代数学教材中的很多数学问题过于理想化，通过介绍一些数学史上著名的数学问题，如孙子问题、阿基米德分牛问题、地图着色问题等，可弥补不知。将数学史融入数学教育中，指导学生提出现实生活中的数学问题，并启发学生解决实际问题，正是数学史给我们的启发和经验。

最后，数学正在发展中。法国数学家庞加莱曾经说，要想预测数学的未来，必须研究数学的历史和现状。数学史告诉我们，数学这门学科不是一朝一夕形成的，数学的发展过程是艰辛的，数学的许多理论是不断发展和完善的，它们往往是集中了历史上不同时期、不同人物的点点滴滴的认识和成就渐渐积累而成的，其中有的认识的突破需要经过几十年，甚至几百年或更多。比如，负数的发现和应用、字母表示数的认识和运用、坐标系的建立等。在数学发展史上，这样的数学认识和方法很多，能够帮助学生真正体会数学的发展，这种真实的发展过程在现实数学教材中被演绎推理的形式完全遮蔽了。在数学教育中利用各类方法，不断向学生展现数学中的各种认识和方法的产生过程，同时适当地讲解数学发展的前沿成果。这样，学生会逐步意识到，数学学科的生命力是强大的，每时每刻它都在发展和成长，我们每个人都是数学发展过程中的参与者和见证者。

（二）激发学生学习数学的兴趣

现在中学生中有一个突出的现象，就是部分学生不喜欢数学。理由是，数学脱离生活实际，太抽象，不易理解；数学只对考大学有用，走向社会数学没用。平时学生又是如何学习数学的？普遍是无休无止的题海战术与考试，为的就是提高数学分数，这样在学生的心中造成的结果是数学单调乏味。于是，点燃学生学习数学的激情，培养学生学习数学的兴趣，是数学教育要解决的首要问题，而融入数学史是解决该问题的有效方法。数学的特点是严谨性、抽象性、确定性和广泛性，这必然导致学习数学有难度。虽然如此，但数学又因为高超的技巧性、厚实的思想性、丰富的多元性、悠久的历史性和动人的过程性而特色鲜明。教育心理学家布鲁纳认为，引起学生学习注意的最好刺激是对学习内容感兴趣。如果数学教师能从浩瀚的数学史料中提取一些丰富多彩的、生动活泼的材料，再根据教学内容实施加工改造，那么融入数学史的数学课就会立即变得有趣，能够激发学生学习数学的兴趣。

在数学发展史上，许多数学家选择数学研究作为毕生的事业得益于数学史。比如，中学时代的陈景润由于受到沈元教师描述的有关哥德巴赫猜想历史的启发，于是心里暗下决心攻克哥德巴赫猜想，最终取得了举世瞩目的成就。同时，这时刻让学生体会、感悟和欣赏数学的美，将数学的学习过程变成享受美的过程。在古希腊，亚里士多德认为数学中有秩序、匀称与明确的美。虽然简洁的数学语言、精致的几何图形和巧妙的解题方法能给人美的享受，但是仅仅从数学教材中感受的数学美只能是不全面的和表面的，不能真正达到以美启真。只有认真学习和研究整个数学发展史，才会真正领悟数学美。数学家在创造数学理论的过程中，因为世界的精美结构而感受数学美，促进不断进行创造劳动，这样对数学美的追求推动了数学的发展，这是通过数学史获得的认识。指导学生在欣赏数学美的同时，积极去发现数学美，这不仅有利于培养学生对数学的兴趣，而且也有利于提高学生的创新能力。

将发现重现于课堂，使学生经历探索和体验数学知识产生的过程，这样才能够有效提高学生学习数学的热情。比如，描述函数定义时，可以全面和系统地讲解该概念的七次扩张，以及当时的发生背景。这样，本来很抽象的概念，通过这样的讲解，学生会觉得生动、具体和有趣。实践表明，学生提出数学问题和解决问题的过程与数学家的发现过程具有相似性，而数学教材的知识体系是先定义，再定理，最后应用。实际上，这与数学知识的发生过程、学生的探索过程都是反向的，必然导致学生学习数学缺乏积极和主动的思维活动，误认为学习数学就是对数学定义、定理的记忆和背诵，严重影响学生对数学的情感。认清了这些，在教学活动中，我们应该依据数学家发现数学知识的思维特点，分析学习该内容时的学生可能思维过程，根据实际设置教学情境，借鉴知识产生过程中的经验和教训，了解何时可能出现认识的障碍，这样更符合学生的认知规律。比如，学习无理数定义时，学生理解常常出现障碍，这也是数学史上无数前辈理解上的障碍和疑惑。无理数得到人们的承认过程和无理数概念的完善过程是漫长而艰难的，曾经甚至遭到许多人的反对。于是，无理数定义教学时，在学生的理解上要花功夫。这样根据数学史料的分析，不仅可以确定教学内容的重难点，而且也可以预测教学过程中可能出现的问题。瑞士教育心理学家皮亚杰曾经说，理解理论意味着要创造理论，要教再创造的方法。数学的教学是思维的过程，而教材的编写是按照逻辑演绎的体系，这要求数学教师在教学过程中灵活地将逻辑推理还原为合情推理，告诉学生归纳推理和类比推理的方法，这样才能启发学生按照认知规律学习。如此，根据数学史，可科学指导学生发现和探究，促使学生在经历中获得学习数学的乐趣。

（三）挖掘数学思想和数学方法

数学教育的根本目标是发展和提高学生的数学能力，即应用数学提出问题、分析解决问题和进行创新的能力。数学能力的决定因素是数学知识的储备量和数学思想方法的素质。数学知识是数学能力的基础，数学思想方法是数学知识的升华，数学思想方法的丰富程度是数学能力的关键因素。数学史就是数学思想的发展史，数学史家克莱因在《古今数学思想》中表达了这一观点。数学史家丹皮尔曾经说，没有什么比科学思想发展更重要，数学史是研究和学习数学思想和数学方法的最好材料。比如，对于从几何方法到代数方法的演变，帮助学生全面理解创立直角坐标系的作用，体会用代数方法解决几何问题，实现代数与几何的有机结合。这样，能够更深刻认识解析几何的产生，在思想上能够自觉地利用数形结合分析解决数学问题。数学家拉普拉斯认为，方法促进科学的发展并不比发现作用小，因此培养学生归纳与抽象数学思想和数学方法是很重要的，尤其是研究猜想的思想和方法，有助于培养学生的创新精神和批判精神。通过创新，建立新思想和探索新方法，能够达到更广阔的境界。数学能力培养的关键是指导学生领悟和应用数学思想和数学方法。而数学教材的内容是按照逻辑体系编写的，没有知识产生的背景，也没有知识产生的完整过程，更没有展示人们是怎样解决的。如果教师仅仅注重结论的论证，忽略分析和探索，必然导致学生高分低能。而只有借助数学史，加强过程教学，强调数学思想和数学方法的渗透，才能改变这种不利的状况。只有在过程中才能领悟，没有过程的体会是肤浅的和片面的。只有体验了数学思想和数学方法的发生过程，才能在头脑中形成稳固的数学思想和数学方法。通过学习数学史，才能真正地体会一般化与特殊化、分析与综合、直觉与理性的重要性。同时，数学史也告诉人们，每种数学思想和数学方法都有其应用范围，因此综合使用各种数学思想和数学方法，才能更好地促进学生的能力发展。(www.xing528.com)

（四）拓展数学眼界和开发数学思维

纵观数学史，在不同的时间和地区，往往会产生同样的数学发现，数学概念、定理、性质的出现也不仅仅局限于某一类思想方法。全面掌握数学概念、定理、性质的起源，发生及发展过程的历史知识，显然会开阔学生的数学眼界。同时，丰富的数学史可以让学生了解到在不同文化的背景下，一般有不同的数学思想方法，从而认识到由于多元文化，导致了数学的多元发展。把多元文化引入数学课堂，引导学生学会欣赏多样的数学文化，鼓励学生多元的思维方式，培养学生的创新能力。因此，施蒂格勒和希伯特提出了数学教育本质上是一种文化活动的观点，不通过跨文化的比较研究，一种教育体系中的教育特点很难揭示出来，也认识不够全面。数学是一门历史悠久的学科，一部数学史是由许许多多的数学家用

他们的心血甚至用生命编著而成的。比如，陈景润病魔缠身仍潜心“皇冠”摘宝，古希腊的阿基米德在敌人破城而入时，仍沉浸在研究之中。通过了解这些数学家，学生能领悟到他们的执着、锲而不舍和批判的精神。对于平时学习遇到障碍和困难就想放弃的学生来说，经常讲述数学家碰到困难决不退缩、敢于面对、勇于攀登的故事，有助于学生树立学习数学的信心，将会产生积极的影响。

数学史也有利于促进学生数学思维的开发。思维是人脑对事物的普遍联系和本质属性的概括与反映，数学思维是数学实际活动中人们的理性认识过程，也是抽象数学概念，形成数学知识，进行数学命题推理的认识过程。通过数学史料，感悟数学家的数学思维过程，有利于学生正确认识教材，理解教材的本质，这样可以提高学生掌控教材的能力。当前，有学生很会做题，但是对题目的本质不进行深入思考，当面对新问题时又束手无策。可见，积极研究和学习前人在面对未知时的解决策略和方法，将对增强学生的综合能力大有好处。公元1847年，自学成材的数学家布尔（1815—1864），在通过长期的探索和研究命题的演算规律后，提出了一套全新的代数系统，就是把逻辑思维的规律转变为代数演算，这样就将复杂命题的变换，转变成有效的数值途径。经常融入这类数学史，有利于学生在探究数学问题时能够有意识地随时准备突破思维的界限，从而促进数学思维的发展。在数学的发展史上，存在很多类似的数学创造的鲜活故事，不断讲述能够促进学生掌握大量的数学创造方式和方法，从而提高学生的创新能力。在公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术》注释中首次提出割圆思想，并用这种思想算出了π的近似值，还发现了一种新的数学方法，类似于现代的求极限。因此，融入数学史，能够极大地开阔学生的视野，开发学生的数学思维。

（五）提高教师的数学素养

每位数学教师必须具备科学的数学观，既要认识数学是一门历史悠久的学科，在社会中涉及方方面面，也要认识数学不仅包括各种理论成果，也是一种活动和过程。如果教师能够从历史的视角理解数学思想和数学方法，在教学中肯定能自觉地和习惯地在传授知识的同时，引导学生归纳和总结数学思想和数学方法。在教学实际中，教师有这样的体会：如果学生了解某些知识的来龙去脉，那么学生就能很好地认识和理解这些知识。许多教师由于缺乏对数学知识背景的了解，无法在课堂上进行融入数学史的教学活动，这样教学活动显得很单调。作为数学教师，不仅要深刻地掌握所教的数学知识，而且还要从历史的角度上来认识数学知识的发生和发展，这就是要不仅知道是怎样的，而且还要知道为什么是这样的。长期的实践证明，学生认识和学习数学的过程，与数学知识本身的发生、发展过程是一致的，只不过前者是后者的集中体现和缩影。因此，作为一名数学教师，应该全面和充分地掌握数学学科的发展历史、整体特征、知识体系、思想方法等，这样才能灵活自如地运用数学史的客观性、前瞻性、生动性、启发性进行教学，从而不断提高教师的数学素质。

作为初中数学教师，不仅要掌握全面和详细的初中数学知识，而且也要掌握初中阶段主要数学知识的背景及发展过程、重要数学思想方法的演变及内容、中外著名数学家的卓越成就及丰富人生。显然，这些都离不开数学史。数学中的每一个规定、概念、公理的出现，都与历史的发展息息相关，所有的数学知识是人类数千年的认识和积累，教师只有广泛而全面地掌握了这些数学知识的起源和发展，才能真正做到胸有成竹、有的放矢，促进学生学到活的数学。

（六）启发学生的人格成长

法国数学家泰尔凯认为，数学家的传记、轶事、故事对学生人格的成长有利。法国数学史家蒙蒂克拉的经典著作《数学史》描述了数学家阿基米德的故事：公元前212年，阿基米德的家乡被罗马人攻占，当时阿基米德正在研究一个数学问题，完全未感受到死亡的靠近。当罗马士兵逐渐走近他时，阿基米德还提醒他们不要弄坏图形，而罗马士兵用刀凶狠地将他杀害。数学家索菲·热尔曼年轻时正逢法国大革命，社会动荡不安，她苦恼、彷徨。偶然的机会，她看了蒙蒂克拉的著作《数学史》，其中阿基米德的故事非常令她震惊，她认定数学是世上最有趣的学科，否则阿基米德怎么对它如此着迷而感觉不到死神的临近？在那以后，她被数学深深地吸引。而当时女性遭受学术歧视，她毅然从事数学研究，成绩斐然，名垂青史。美国诺贝尔经济学奖获得者和著名数学家、影片《美丽心灵》主角的人物原型纳什在14岁时阅读了数学家贝尔的《数学精英》，被法国数学家费尔马的数学定理深深吸引，并独自证明其中的一个定理，从此热爱上了数学。虽然我们不会认为数学故事或数学家传记就一定能造就数学家，但是数学家的人生经历对学生成长的正面作用是不可否认的。还有很多类似的故事，如高斯、笛卡尔的故事等，都可以把学生带到一个美好且纯净的领域。数学课程应该多角度介绍古今中外数学史中数学家的人生历程、奋斗足迹、奇闻轶事，并以生动的故事展现在学生的面前。数学家们勇于追求真理的科学精神、敢于挑战权威的批判精神、乐于崇尚个性的创新精神必然是学生的精神食粮，能够培养他们的学习兴趣、学习热情和愉悦的内心体验，确立乐观的生活态度、豁达的人生态度、端正的学习态度和求实的科学态度。同时，在价值观方面，可以使学生认识到虽然数学家们崇尚个人价值，但是也时刻追求社会价值与个人价值的统一、人文价值与科学价值的统一。

（七）树立学生的自信心

克莱因曾指出，历史上数学家所遇到的困难，课堂上的学生也会遇到，因而历史对于课堂数学具有重要的借鉴和指导作用。他认为，数学家遭遇困难、挫折、失败的过程对学生有着很好的教育启发意义。英国数学史家福威尔曾经总结过数学史融入数学教育的意义，包括促进学生主动学习数学、不那么害怕数学。由于不是只有他们才有学习数学的困难，数学家有时也碰到困难，体现了数学人文的一面。克莱因说，如果学生真正认识到了数学创造过程中的斗争、挫折、失意以及在构造宏伟的结构之前数学家所遭遇的漫漫长路，那么学生将不仅能获得真知，也能获得面对艰难的勇气，不会因为结果的不完美而感到落寞。比如，假如告诉学生，数学家们花了两千多年的时间才真正认识无理数，花了一千多年才理解负数，花了三百多年才了解复数；从约翰·贝努利到皮亚诺，数学家们一直竭尽全力去理解函数的概念；牛顿和莱布尼兹尽管声名显赫，但他们也没有完全理解微积分的一些概念，数学家们经过两百多年的努力，才彻底理解这些概念，那么当学生刚开始不能很顺利地认识这些概念时，也就不至于感到沮丧，相反还会增强信心，坚持学下去。数学家们也经常犯一些错误。例如，费尔马在1654年写给帕斯卡的讨论“点数问题”的信中，告诉帕斯卡自己发现的一个结论，即形如f（n）=22n+1（n为非负整数）的正整数都是素数。他说，2的平方加1为5，是素数；2的平方的平方加1为17，是素数；16的平方加1为257，是素数；如此以至无穷。不过，他承认，上述结论的证明很难，他还没有完全找到。一个世纪后，欧拉证明了n=5时费尔马所说的数是合数，从而说明了费尔马所谓的结论是错误的。我们今天知道，对于5＜n＜16，费尔马数都是合数。许多学生认为，数学是单调枯燥的，是少数人的兴趣，一些人有数学天赋，而另外一些人没有，并且数学很抽象，脱离现实生活，数学的学习仅仅是为了考出高分。但是，法国昆虫学家法布尔擅长代数学，美国总统林肯热衷几何学，法兰西皇帝拿破仑经常做数学研究。这些事实告诉我们，数学并不是少数人的爱好，实际上数学是人类的一种文化活动。虽然并不是每个人都有数学家的才能，但是每个人都可以学习数学，每个人都可以做一些数学研究。另外，就连一些大数学家在学习数学、探索数学的过程中也会犯常见的错误、道遇障碍和疑惑，所以学生在学习数学时，碰到困难完全不必丧失信心。因此，融入丰富的数学史可以改变学生错误的数学观，增强他们学习数学的积极性和自信心。