高中数学思想方法：等价转化的基本原则

（一）简单化的原则

简化化简是数学研究的基本要求，数学的推理运算，无论是出发点还是落脚点，都是化简.试想一下，如果一个数学问题的条件和结论都最大限度地被简化了，它们之间的关系也就一目了然了.所以，对问题的转化必须体现化简的原则，无论是发展条件还是转化结论.

一般来说，去分母、去根号、去绝对值号、合并同类项、消元、降次等这些转化措施都是化简，进行之后一般都会更加靠近结论.

你了解足球场的尺寸吗？请看例19图①.围绕足球和球场有太多的故事，也有很多的数学问题.

例19 如图的足球场是一个长方形，其中较长的边叫作边线，较短的边叫作端线，端线上的球门门柱A和B到较近的边线的距离为a，它们到较远的边线的距离为b.某球员带球沿边线突破到位置P的时候，起脚射门，射门角度∠APB取得最大值，请确定点P的位置.

例19图①

探究：要研究∠APB的最大值，应该将其转化为∠APB的某一种三角函数.

要确定点P的位置，自变量的设置可以是点P到端线的距离，即PC=x.

条件中的几何信息：目标三角形PAB为斜三角形.

Rt△PAC和Rt△PBC中，

例19图②

在△PAB研究∠APB，可以余弦定理，求得：

显然，用它来研究结论不太靠谱，结构忒复杂，运算量忒大.

按照简单化的要求，应将问题转化到Rt△PAC和Rt△PBC中，∠BPC，∠APC有着巨大的优势.，直角三角形和正切函数都更加简洁，问题进一步转向研究tan∠BPA会更合理.

tan∠BPA=tan（∠BPC-∠APC）=（当且仅当时取等号），

也就是球员在边线上距离端线时，射门角度∠BPA最大.

说明：在该题中，射门角度的最大值问题转化成其正切值问题.斜三角形问题转化成直角三角形问题，一切都向着简练标准规范的方向前进着，最后出现均值不等式的“惊喜”.这看似偶然，实则必然.

例20 已知函数f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求实数a的值.

探究：（1）当a=1时，f（x）≥1等价于ex-x2-1≥0.设函数g（x）=ex-x2-1.则只要证明g（x）≥0即可.

g'（x）=ex-2x，结果不够理想，可以继续转化：g″（x）=ex-2.

由g″（x）=ex-2≥0可得x≥ln2.

显然，x≥ln2时，g″（x）≥0，

g'（x）为增函数；

0≤x＜ln2时，g″（x）＜0，

所以g'（x）为减函数，

所以g'（x）的最小值为g'（ln2）=2-2ln2＞0，

例20图

所以g'（x）恒为正数，

所以g（x）为增函数.因为x≥0，因为g（x）≥g（0）=0，所以原结论正确.

（2）f（x）在（0，+∞）只有一个零点等价于ex-ax2=0也就是在（0，+∞）只有一个根.

令

我们研究该函数的基本性质，结合其图象，希望问题能得以转化.

显然x＞2时h'（x）＞0，h（x）为增函数，

0＜x＜2时h'（x）＜0，h（x）为减函数，

所以h（x）最小值为

结合函数g（x）的图象可知时，

方程只有一个根，

进而函数f（x）只有一个零点.

说明：不等式恒成立问题往往转化成函数的最值问题，而函数的最值问题最终转化成了导数甚至二阶导数问题，问题越来越简化.

结合函数的性质和图象，引入了函数这个先进的工具，函数思想便可以大显身手，问题一般不难解决.

函数的零点和方程根的研究，分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，也是一种常见的转化化简方式.因为这样一来，在新函数里面便没有了参变数，问题可能大大地简化了.

超越函数的研究一般转化成导数问题，导数一般比原函数简单一些；如果导函数不够简约，可以进一步转化成二阶导数问题，直至问题足够简单.转化只要坚守简单化熟悉化的基本原则，最后的成功几乎是个必然.

（二）熟悉化标准化的原则

著名的数学家、莫斯科大学教授C·A·雅洁卡娅曾说，“解题就是把问题转化为已经解过的题”.数学的解题过程，很多都是从未知向已知、从陌生到熟悉、从非标准不规范到标准规范的化归转换过程.数学问题犹如汪洋大海，内容也千变万化，但是它们对应的标准化基本问题却是有限的、可以把控的；一旦我们掌握了其中的转化方法，数学解题就算成功了.

三角函数问题最后几乎都转化成为“一角一次一函数”的标准化问题，数列问题最后几乎也都要转化成等差等比数列的基本问题…….

例21 求（a+b+c）10展开式的项数和各项系数之和.

探究：看到此题的结构，我们不难联想到二项式定理，所以将三项式转化成二项式就成了该题的主要研究方向.

（a+b）n的展开式共有n+1项，所有系数之和为2n.

(a+b+c)10=[(a+b)+c]10

=(a+b)10+C110(a+b)9c1+C210(a+b)8c2+…+c10.

这是初级展开式，共有11项.所以共有11+10+9+……+1=66项.

如果继续展开，那就是终极展开式，共有11类，

系数之和=C010210+C11029+C21028+C31027+……+C110020=（2+1）10=310.

说明：请看，转化成我们熟悉的标准形式，相应的定理性质公式都可以发挥作用，问题很快便得以解决.

另外，本题还可以这样转化：

（a+b+c）10的展开式当中，所有项的结构都是ambncp（其中m，n，p都是自然数且m+n+p=10）.这样一来，我们便可以分类列举一下：p=0时，m+n=10，这样会产生11项；p=1时，m+n=9，这样会产生10项；p=2时，m+n=8，这样会产生9项，……p=10时，m+n=0，这样会产生1项，所以共有11+10+9+…+1=66项.

(a+b+c)10=a1am1bn1cp1+a2am2bn2cp2+a3am3bn3cp3+…+akamkbnkcpk.

这是一个恒等式，采用赋值法，令a=b=c=1可得系数之和a1+a2+a3+…+ak=310.

例22 三角形的三条边长a，b，c满足a3+b3=c3，求证该三角形必为锐角三角形.

探究：显然三条边当中，c最大，只要证明它的对角为锐角即可.由余弦定理可知，C为锐角可转化为cosC＞0，即a2+b2＞c2.相对于三次方，我们更应该请来更规范更标准的二次方，这应该是一个正确的转化方向.

因为c3=a3+b3，所以c＞a＞0，c＞b＞0，

所以

所以c2＜a2+b2，所以角C为锐角，也就是原结论正确.

说明：本题简洁明快，充满了转化，要证明三个锐角，转化成了证明最大角为锐角；结合余弦定理，问题进一步转化成了三条边的平方关系的不等式，步步为营，处处紧逼，问题朝着结论需要的标准形态不断转化着.

另外，本题也可以这样做：

因为c3=a3+b3，所以c＞a＞0，c＞b＞0，

所以，所以

所以c2＜a2+b2，所以角C为锐角，也就是原结论正确.

这种方法何尝不是一次华丽的转化，三次方的方程变形后转化为二次方的不等式，降次就是一种化简，而且问题背景中，余弦定理勾股定理的变形等都需要这样的二次方的标准形式；一旦实施，问题出现转机是个大概率事件.

例23 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2.

探究：（1）f'（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

其零点情况是不确定的，需要分类讨论，在讨论中做出选择.

①若a=0，则f（x）=（x-2）ex有一个零点，与题目要求不符.

例23图①

例23图②

②若a＞0，显然当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0.所以f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.

又f（1）=-e，f（2）=a＞0，所以f（x）在（1，2）内存在一个零点.

当x＜1时，直觉告诉我们，该函数的函数值可以为正数；如果是这样，原函数的零点个数就应该为两个了.

g(x)=(x-2)ex，g'(x)=(x-1)ex＞0，

可得g（x）增区间为（1，+∞），进而减区间为（-∞，1），

所以g（1）=-e为g（x）最小值，

所以（x-2）ex≥-e，

所以f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2≥-e+a（x-1）2（放缩法把混合的复杂函数转化成了简单的二次函数）.

结合二次函数图象，肯定存在一个实数b＜0，使得f（b）＞0，也就是f（x）在x＜1时也存在一个零点，

故a＞0时f（x）存在两个零点.

③若a＜0，则f'（x）=（x-1）（ex+2a）=0可得x=1，ln（-2a）.这是函数的两个极值点，极大值极小值的符号对于本题的讨论极为重要.

数形结合一下：

显然x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞.

1ln（-2a）时，连续函数的两个极值都是负数，其f（x）单调性是先增后减再增；1=ln（-2a）时f（x）是恒增.这样一来，它只能有一个零点，绝不可能有两个零点.

综上，所求范围为a＞0.

（2）很少根据函数性质证明自变量关系的，这与常规相悖.我们可以将变量间的关系转化到其同一个单调区间上来，希望用单调性的标准方法来研究该问题.

例23图③

由前一小题可得f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.x1与x2一个大于1另一个小于1，它们不属于同一个单调区间，无法使用函数的主要性质——单调性进行有效发展，所以不妨假设x1＜1，则x2＞1.

要证x1+x2＜2，只要证x1＜2-x2，

而x1，2-x2∈（-∞，1），这是函数的减区间，

所以只要证明f（x1）＞f（2-x2）即可.

请注意f（x1）=f（x2）=0，所以只要证明0＞f（2-x2）即可.

注意到f（2-x2）=-x2e2-x2+a（1-x2）2和f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0.

两式作差可消去a：f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.

构造一个同构的新函数：令g（x）=-xe2-x-（x-2）ex（x＞1）.(www.xing528.com)

g'（x）=（x-1）（e2-x-ex）（x＞1），显然g'（x）＜0（因为x＞1，所以2-x＜x），

所以g（x）为减函数.因为x＞1，所以g（x）＜g（1）=0，进而f（2-x2）＜0，问题得到证明.

说明：本题中运用了多种数学思想.分类讨论和数形结合是第一小题的主基调，其中的放缩法是一种等价转化.在研究该题的任何过程中，画出图形几乎都能给我们以直接的启发.画图甚至帮我们避免了部分讨论，大大降低了思维探索和理解的难度.

第二小题的等价转化极其重要，体现了充分应用条件的原则.通过分析法的等价转化，不仅仅可以使第一小题的结论得以发展和应用，而且使得无法展开的问题获得了勃勃生机.这也是利用函数单调性确定自变量大小的一个优秀范例.由自变量的大小顺序研究函数值的大小关系，是我们的标准题目，但是问题倒过来我们往往不太适应，我们通过分析法的转化实现了向熟悉问题的顺利过渡.

题目的部分内容体现了分析法的合理转化.当然你也可以反证法一试.

（三）避重就轻，正难则反，避繁就简，遇难则转

有些问题，直接研究，需要考虑的因素很多，很可能难以把控，但是如果把视野转到问题的对立面，问题可能变得单一起来.此时进行研究，难度相对会降低不少，在问题的对立面搞定之后，结果的补集一般来说就是本题的答案.

例24 （1）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个球，从中任意取出2个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）.

（2）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）.

A.70个 B.64个 C.58个 D.52个

探究：（1）从7个球中选2个球，一共有C27=21种选法；若两个编号之积为偶数，则两数中至少有一个为偶数，情况比较复杂.我们可以转化成问题的对立事件：两数之积为奇数，也就是两个数均为奇数，从1，3，5，7中选两个，共有C24=6种选法，所以要求的概率

（2）问题需要取到四个不共面的点，直接选取.关注点太多不易把控，我们可以转化成问题的反面，采用间接法.

正方体一共8个顶点，任选4个，有C48种，但是显然要减去那些四点共面的组合，正方体有6个表面上的4个点都共面，另外还有6个“对角面”上的4个点共面，所以该题最终答案为：C48-12=58，答案选C.

说明：间接法在很多时候是一种最合理的转化，“正难则反”体现的就是这种思想.所谓补集意识对立事件，其实也是这个意思.

也可能有这样一些问题，直接研究困难重重，但是将问题变成另一种叙述方式，往往可以使我们的研究得以继续并逐步获得突破.

例25 若函数f（x）=ax（a＞1）的定义域和值域为[m，n]，则实数a的取值范围是________.

探究：问题可以转化为am=m且an=n，进而是函数f（x）=ax（a＞1）与y=x图象有两个交点时a的取值范围.

简化为一个函数就是f（x）=ax-x有两个零点的问题.

显然，x→-∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞.

f'（x）=axlna-1，易知当时，f'（x）=0.

x＞x0时，f'（x）=axlna-1＞0，f（x）为增函数；

x＜x0时，f'（x）=axlna-1＜0，f（x）为减函数.

此时f（x0）为f（x）的极小值.

因为f（x）=ax-x有两个零点，

所以

由a＞1得1+ln（lna）＜0，即，所以

变式：函数y=logax与y=x（a＞1）有两个不同的交点，求实数a的取值范围.

探究：由题意，原问题可以转化为函数f（x）=logax-x（a＞1）有两零点.

显然，x→0+时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→-∞.

由可得f（x）的增区间为（0，logae），

进而减区间为（logae，+∞），

函数最大值f（logae）=loga（logae）-logae＞0，所以loga（logae）＞logae，

即logae＞e，所以ae＜e，所以，所以

说明：在解题过程中，面对复杂的结构或者繁难的运算，我们应该力求通过问题的观察和分析，对问题进行分拆，把复杂问题构造转化成简单模型，使得问题的结构和内涵不断简化.

例26 （2001年全国高考题）已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n.

（Ⅰ）证明niAim＜miAin；（Ⅱ）证明（1+m）n＞（1+n）m.

探究：本题条件简单单纯，但是结论复杂，所以我们可以利用分析法进行等价转化，使结论简洁明快起来.

（Ⅰ）不等式两边有三个字母m，n，i.i是共有的，所以可以将m，n分离开，使得它们分别位于不等式的两侧，此时两边会出现相同的结构，问题肯定得以简化.

Aim=m(m-1)…(m-i+1)，Ain=n(n-1)…(n-i+1)，

原结论等价于

即

观察上式的复杂结构可以发现，左右两边都是i项之积，

只要证明它们的对应项之间的关系即可，

而这只要证明去分母以后的结果mn-nk＜mn-mk，即m＜n.这显然成立，所以原结论正确.

（Ⅱ）和第一小题一样，将m，n分离开，使得它们分别位于不等式的两侧，希望两边会出现相同的结构，问题肯定得以简化；但是，考虑到两边的数字可能特别巨大，所以利用对数进行转化是个理想的选择.

原结论等价于ln（1+m）n＞ln（1+n）m，也就是nln（1+m）＞mln（1+n），

即，两边有相同的结构“函数f（x）=

此时只要证明f（x）在x≥1时为减函数即可.

，看不到导函数为负的迹象，问题依然不明朗.

可否将转化一下，分离变量使得

令，显然这是一个减函数.

因为x≥1，所以，所以f'（x）＜0，所以原结论正确.

说明：两道小题都是不等式的证明，都是利用分析法进行转化的，其中让变量m、n分居不等式的两侧，构建相同的问题结构，针对这种结构的每一项，再将不等式转化成对称项的局部结构，问题在逐步的转化中被不断简化.

第（2）小题中，对于最后构造的函数，求导后没有明显的有效信息，我们对问题又进行了一次转化——分离变量.换了一种结构，我们很快便发现导函数是递减的，继续发展之后问题便迎刃而解了.

另外，第（2）小题也可以利用二项式定理展开后，依据排列组合数的计算公式和第（1）小题的结论，可以和第（1）小题一样的方法进行证明.

（四）变通性实用性原则

在转化的过程中，要具体问题具体分析，对问题进行综合考察，尽量多地对原问题进行各种变化.在转化变化的过程当中，我们对问题的认识会逐步走向深入，借助于第一章中的基本数学方法，与其他数学思想结合起来，往往事半功倍.

由于等价转化的多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套；要客观评估，趋利避害，避繁就简，避重就轻.

例27 任意确定二个日期，其中恰有一个是星期天的概率是（ ）.

A. B. C. D.

探究：这是一道应用题，需要将其转化成适当的数学模型，“任意确定二个日期，其中恰有一个是星期天”，则日期的全集为{1，2，3，4，5，6，7}，全部的选择共有7×7=49种，其中恰有一个是星期天的选择有6×1×2=12种，所以答案为C.

说明：应用问题模型化就是一种转化，尤其是把所有的日期转化成了7天，问题得到了极大的简化，但是要注意在全集的研究中，1，2，3，4，5，6，7这7个数字是可以重复使用的，因为即便是同一个数字，它们可能代表的不是同一天.

例28 （1）7个身高均不相同的学生排成一排合影留念，要求最高个站在正中间，而且从他开始到两边，身高依次递减，则这样的排法共有________种.

（2）6个身高均不相同的学生排成前后两排合影留念，为了便于拍照，要求前排的人要比后排对应的那个人矮，则这样的排法共有（ ）.

A.90种 B.360种

C.720种 D.180种

探究：（1）问题可以转化成：从剩下的6个人中选取3个人，他们会自动地按照要求站在最高个的左边，而剩下的另外3个人会自动地站在最高个的右边.这样一来，问题的答案显然为C36=20种.

（2）这道题显然要用到分步乘法计数原理，但是如何分步需要辨析一番.

如果按照先前排然后后排的顺序，需要考虑的约束条件太多，越来越困难.这时就应该将问题的思考方向进行适当转换.

横排不行，我们可以考虑每一列的排列方法，刚好题目中的约束条件就是按照每一列的元素给出的.

第一步，从6个人中选取2个人按序（后高前矮）站在第一列上，有C26种方法；第二步，从剩下的4个人中选取2个人按序（后高前矮）站在第二列上，有C24种方法；第三步，最后剩下的2个人按序（后高前矮）站在第三列上，有C22种方法.

所以，共有C26C24C24=90种方法.

说明：思想要更解放一点，不要墨守成规.将题目的条件和结论结合起来进行转化，问题获得突破的概率会大大增加.

例29 已知函数f（x）=ax-blnx.且曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为x+y=2.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）设存在x1，x2使f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞4.

探究：（1）

因为曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为x+y=2，

所以f（1）=1，f'（1）=-1，即a=1，a-b=-1，

所以a=1，b=2.

(2)f(x)=x-2lnx，

所以

例29图

显然x＞2时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；

0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）为减函数.

因为f（x1）=f（x2），

所以x1，x2分属于两个不同的单调区间，不妨假设x2＞2，0＜x1＜2.

要证明x1+x2＞4，只要证明x2＞4-x1.这样一来，x2＞2，4-x1＞2；

这样一来，x2与4-x1就都属于函数的增区间了，

只要证明f（x2）＞f（4-x1）即可，而f（x2）=f（x1），

所以只要证明f（x1）＞f（4-x1）即可，

即x1-2lnx1＞4-x1-2ln（4-x1），

即2x1-4+2ln（4-x1）-2lnx1＞0（*）.

令g（x）=2x-4+2ln（4-x）-2lnx（0＜x＜2），

则

所以g（x）为减函数.

因为x＜2，

所以g（x）＞g（2）=0，也就是

所以（*）成立，所以原结论正确.

说明：把x1+x2＞4的证明转化成x2＞4-x1.从而结合函数的单调性，转化成函数值大小的比较，体现了转化的灵活性.在这个过程中，充分利用题目的其他条件.比如f（x1）=f（x2），不断消元，使得问题进一步简化.最后构建新的目标函数，需要我们有较强的目标意识.变通性和灵活性是该题的主要特征.

转化过程应该省时省力，应该充分兼顾题目的条件和结论双重特征，审时度势，顺水推舟.