高中数学思想方法：等价转化的作用及函数最大值点探究

等价转化可以使问题不断简化，难度不断降低，不断的越过那些解题障碍，真实有效地靠近问题的结论.

例5 已知函数在x=x0处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④⑤（ ）.

A.①④ B.②④ C.②⑤ D.③⑤

探究：研究函数的最大值点，显然应该转化成导数问题.

原函数的单调性可以转化为导函数的符号判断，当前又可以进一步转化为关注导函数分子的符号.

因为函数g（x）=x+1+lnx为增函数，其零点就是原函数的最大值点，方程x+1+lnx=0显然不好解，只能转化成对应函数的研究.

因为，所以存在唯一的实数x0，使得g（x0）=0，x0

x＞x0时，g（x）＞0，进而为减函数；

0＜x＜x0时，g（x）＜0，进而为增函数，

x0为函数的最大值点，

所以lnx0=-x0-1，也就是x0是函数y=lnx图象与函数y=-x-1图象交点的横坐标，画出两个函数的图象可知0＜x0＜1.

当然，这个范围越小越好.根据上述判断知

这样一来，问题得到进一步转化.而且还可以更进一步：将超越函数值lnx0可以转化成：-x0-1.

所以正确答案为B.

说明：最值点转化成导数问题是不易研究的，但函数转化成对其分子的研究，难解的方程转化成函数性质的研究.这些都是常态，也有效地降低了问题的难度.但是，利用导函数为零的方程，将超越函数值转化成初等函数值，这种技巧却不常见，其实却都在情理之中.复杂信息烦琐结构转化成简约信息和明确结构，也是化简的基本要求.

本题里，对x0“设而不求”，直接带入原函数表达式将其进行转化，对其进行最细致的定性分析是一种常用技巧.

例6 （1）如图，某地有南北街道5条，东西街道7条.一快递员从东北角的A出发，将两份快递包裹送至C地和B地，要求所走路程最短，则共有_________种不同的走法.（用数字作答）

（2）已知函数g（x）=f（x）+x+a，

例6（1）图

若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）.

A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞)D.[1,+∞)

探究：（1）根据题意，从A经C到B为最短路程且只能向左、向下运动；从A到C，最短的路程需要向下走4次（4次单位下行），向左走2次（2次单位左行），则问题转化为：

从6次单位行走中任取2次单位左行，剩下4次单位下行，有C26=15种方法.从C到B，最短的路程需要2次单位下行，2次单位左行，即从4次单位行走中任取2次单位左行，剩下2次单位下行，有C24=6种方法，

则从A经C到B的最短路程共有15×6=90种.

（2）很多所谓的标准答案里面都是写出函数g（x）的表达式后再进行研究，其实大可不必.在发起“冲锋”之前，我们最好问一下自己：这是唯一选择吗？是否可以简化？“g（x）存在2个零点”最应该转化成两个简单函数的问题，即y=f（x）与y=-x-a的图象有两个交点.画出它们的图象，可以非常清楚地看到-a≤1，所以答案为C.

例6（2）图

说明：从一个具体问题中抽象出数学模型就是最直接的转化，问题往往不难解决.

到底研究一个函数容易还是研究两个函数容易，要审慎对待.如果一个函数分解为两个函数，而这两个函数都有着鲜明的特征，这无疑会使问题容易起来，我们还是应该选择后者.在这方面，后面的例7、例8等问题里面多有体现，而且难度比该题大一些，你会有更真切的体会.

例7 已知函数

（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数t的取值范围；

（2）求证：

探究：（1）f（x）在其定义域上为增函数等价转化为在定义域x＞0内恒成立.

问题可以进一步转化为在x＞0时恒成立，也就是

令

则

所以x＞1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数；0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数.容易得到t≤[g（x）]min=g（1）=e.

（2）要证明，我们有多种选择.

可以将问题两个函数转化为一个函数，即证明在定义域x＞0内恒成立；

甚至化为在定义域x＞0内恒成立.

（让对数函数指数函数“相对独立”，求导后便没有对数函数了.这样一来，问题可能会更容易化简.这本来是一种常规的化简转化方法.这个方法也比较普遍，但是当我们真正研究的时候，遇到了意料之外的困难，求导以后难以为继）

既然一个复杂的函数难以研究，我们可以退一步，分别研究两个函数，降低难度，择机突破.

令h（x）=xlnx（x＞0），令

h'（x）=1+lnx……容易求得h（x）在上单调递减，在上单调递增，所以h（x）最小值为容易求得k（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以k（x）最大值为

h（x）=xlnx（x＞0）的最小值就是的最大值，而且最大值点不等于最小值点，

所以

说明：本题的两个问题都体现了等价转化的思想.

把增函数问题转化成一个恒成立问题，进而转化成了函数的最值问题.

把两个函数的比较，变成了前者的最小值与后者的最大值的比较，看起来是一种特殊技巧，其实也是一种必然.通常的做法是利用作差法，把两个函数变成一个新函数，我们也尝试着这样做了，但是遇到了空前的阻力，迫不得已，我们分头去研究两个函数的性质.这看似歪打正着，其实得益于我们的主动寻找.

具体问题具体分析，注重通性通法，不唯通性、通法，能将问题灵活变通，这才是正确的辩证的方法论.几乎用同样的方法解决问题，请看下例.

例8 函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）.

A. B. C. D.

探究：常规的研究方法是借助于函数导数的研究，结合函数图象，找到关于字母系数a的不等式组.但当我们真正按照这种通法去做的时候，可能会遇到一些大麻烦.

f'（x）=ex（2x+1）-a，由此可得f（x）的增区间和减区间.

再一次求导后，只能求得f'（x）的最小值为，问题依然打不开局面.这说明原函数过于复杂.一个复杂的函数难以研究，我们可否将其转化分拆成两个便于研究的“小”函数呢？

考虑到函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a的零点是g（x）=ex（2x-1）与h（x）=ax-a两个图象交点的横坐标，而后者刚好经过一个定点A（1，0），前者无字母系数，所以这种转化是有利和恰当的.

例8图

g'（x）=ex（2x+1），可求得g（x）在上为增函数，在上为减函数，函数g（x）（只有一个零点）与h（x）的图象如图所示，g（x）图象上有两个横坐标为整数的点B（0，-1），

由图可知，存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0便转化为：

当且仅当点B在直线h（x）=ax-a下方，C在直线h（x）=ax-a上或上方时，使得g（x）＞h（x）的整数x0唯一存在.

此时，解得，故本题正确答案为C.

说明：有时候分别研究两个函数可能比研究一个函数更容易，那么，到底把问题转化为两个函数还是一个函数呢？回答是实事求是，具体问题具体分析.一是看两个函数是否比研究一个函数的成本更低、障碍更少、难度更小，二是看两个函数是否都有比较明确的性质.本题中h（x）=ax-a的图象过一个定点，这一点小小的特征，为我们的后续变化带来极大的方便.

等价转化可以使我们更加深刻地理解数学的本质，让我们能用联系发展的观点、沟通各种数学知识方法间的关系，更加系统地建构数学知识和方法的网络，从根本上提高我们的解题能力；反之，深刻准确地理解各种数学的知识和方法，也有利于我们对数学问题的精准转化.

例9 已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是___________.

探究：本题直接按照三角函数的基本方式求解，很难将其变成一角一次一函数的标准结构；更换一种思路，将其转化成导数的计算和应用，便容易解决问题.

f（x）的周期为2π，问题便可以转化到一个周期内的最大值最小值.

x∈[-π，π]时，由f'（x）=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=2（2cosx-1）（cosx+1）≥0可得：，所以

所以f（x）在上为减函数，在上为增函数，

在上为减函数，

所以f（x）的最小值为或f（π）=0，答案显然为

说明：本题还可以关注函数的极值点和端点：±π，来“选拔”函数的最大值和最小值.

两次转化：到一个周期内来，关注那些关键点，问题越来越简约了，我们对三角函数的周期性和相关的导数方法也有了更明确的认识.

例10 （2018全国高考数学试题）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

探究：F（1，0）结合图形可以发现：∠OMA=∠OMB等价于MA与MB的倾斜角互补，进而等价于它们的斜率互为相反数，而联立方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系几乎是一种通法.

当直线l的斜率为0时，A，B与椭圆左右顶点重合，∠OMA=∠OMB=0.

考虑到直线l的斜率可能不存在，所以直线l的斜率不为0时，可设直线l方程为x=ty+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立直线l与椭圆方程，消x得（2+t2）y2+2ty-1=0，

则由韦达定理得

例10图

所以直线BN与BM的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

说明：结论的几何证明转化成代数的计算，这就奠定了该题的基本思路，无形当中，我们对解析几何的两个基本问题之一：在用代数方法证明几何问题的基本思想的认识上升了一个层次.转化之后，我们只要专注于代数计算即可，问题变得单一简单起来.对于直线斜率的讨论和整合，体现出对问题代数特征的严谨思考.

例11 设函数

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＞0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）＜1.

探究：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），

当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞0时，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.

综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增.

（2）由（1）知，

即

方法1：要证g（a）＜1，即证，只要证而这只要证a-alna≤1（放缩法）即可.

令h（a）=a-alna，

h'（a）=-lna＜0可得h（a）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1），

所以h（a）最大值为h（1）=1，所以g（a）＜1.

方法2：要证g（a）＜1，即证，则只需证即可（让lna独立起来，问题在求导之后会变得简单起来）.

当a∈（0，2）时，h'（a）＜0，h（a）单调递减，

当a∈（2，+∞）时，h'（a）＞0，h（a）单调递增，

所以

所以h（a）＞0，即g（a）＜1.

说明：第（2）题的两种方法都有分析法成分，这其实就是最直接的转化.分析法的基本流程就是要证明一个复杂的结论，只要证明一个简单的结论，只要证明一个更简单的结论，最后变成一个数学常识或数学定理或者是本题的一个条件，在分析的过程中问题不断被刷新被简化.

放缩法也是一种转化，充分地体现着化简的解题原则.放缩法有两个要求：一是确保放缩后的不等式能传递回原来的不等式，二是放缩后的不等式更简单了.

本题考查的是分类讨论思想、等价转化思想、函数与导数的基本方法、放缩法，函数的构造也是一种转化.

通过本题的研究，我们对上述数学内容有了一个更加清晰的理解.

等价转化可以简化运算过程，提高问题的研究效率.

要认真分析条件和结论的本质，特别是那些“大块带入”的繁杂计算，只要我们条件和结论兼顾起来，在发展条件的时候能顾及结论的需要，在转化结论的时候能充分地体现条件的特征，通过适当的转化，就可以明确运算目标，看准运算路径，选定运算方式.

例12 正方形ABCD中，A，B两点在直线l：3x+4y=25上，C，D两点在以原点为圆心以为半径的圆上.（1）求圆上的动点到直线l距离的最大值、最小值；（2）求正方形的面积.

探究：（1）如例12（1）图：(https://www.xing528.com)

例12（1）图

容易求出圆心到直线的距离为5，又因为圆的半径为，所以结合图形可知：圆上的动点到直线l距离的最大值、最小值分别为5+10，5-10.

（2）假设弦CD所在直线：3x+4y=k，则正方形的边长等于两条平行线AB和CD的距离圆心到直线CD的距离

则Rt△OMC中，由勾股定理得

例12（2）图

所以

因为d=|CD|，所以，所以k2-10k-75=0，

所以k=15或-5，所以d=2或6，所以正方形的面积为4或36.

说明：数学创新的基础是问题创新.类比此题，你能编制一道椭圆背景的问题吗？先别往下看哈！

例13 正方形ABCD中，A，B两点在直线l：y=2x+7上，C，D两点在椭圆上.（1）求椭圆上的动点到直线l距离的最大最小值；（2）求正方形的边长.

探究：如例13（1）图所示：

失去了圆的许多性质，椭圆问题不能再像上一题那样了，我们应该考虑更一般的方法.

（1）方法1（几何法）：把直线AB平移至与椭圆相切的两种状态时，两条切线到直线l的距离即为所求.

假设切线的方程为：y=2x+b，代入椭圆方程得：

8x2+4bx+b2-4=0.

由直线与椭圆相切可得Δ=16b2-32（b2-4）=0，所以

例13（1）图

切线与直线AB的距离，这就是本题（1）的答案.

方法2（函数思想）：依据椭圆的参数方程，

可设椭圆上的点P（cosθ，2sinθ），则p到直线AB的距离d

，所以

所以其最大值最小值分别为：

（2）假设弦CD所在直线：y=2x+c，代入椭圆方程得：

8x2+4cx+c2-4=0.

在Δ=16（8-c2）＞0下

例13（2）图

假设两个交点C（x1，y1），D（x2，y2），

则

由弦长公式得：

又正方形的边长等于两条平行线AB和CD的距离

所以

所以29c2-56c-4=0，所以（29c+2）（c-2）=0，所以c=2或

所以或，这就是正方形的边长.

说明：如果你再把上述椭圆的背景变成抛物线的背景，就变成了下题.

例14 正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线L：y=x+4上，C，D在抛物线y2=x上.（1）求抛物线上的点到直线l的最小距离；（2）求正方形ABCD的面积.

这几乎就是1987年的全国高考题，好像比椭圆问题更容易一点.这种问题以前也在本书里出现过，你再试一下呗！

答案：（1），（2）18或50.

说明：上述三个例题都全面体现出等价转化的思想.通过转化，它们都有效地避开了问题的主要障碍和复杂运算，使我们能把解题的主要精力都投入到结论的转化当中.

例12中，圆上的动点到直线距离的最值转化成圆心到直线的距离与半径的关系.例13、例14中，椭圆抛物线上的动点到直线距离的最值问题都有两种方法进行转化：要么转化成切线问题，要么转化成距离的目标函数.所有这些，都有效避免了那个点的坐标的求解，而这其实是一件非常麻烦的事情.

三个例题的第二问，基本思路也都是转化，要求出正方形的边长，需要求出二次曲线的“弦”所在直线的方程.如何构建该方程，问题进一步转化成“弦长”等于两条平行线距离的问题.对两个交点的坐标“设而不求”，有效地避开了那些“不可能的运算”，转化环环相接，探索逐步靠近结论.

例15 （1）已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，求三棱锥的体积.

（2）已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，D为AB的中点，E为AC的中点，求四棱锥S-BCED的体积.

（3）已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，求顶点S到底面ABC的距离.

探究：如例15图①：

例15图①

（1）把A看成顶点，则三棱锥A-SBC中，因为SA⊥SB，SA⊥SC，SB∩SC=S，

所以SA⊥平面SBC，SA为三棱锥的高.

Rt△SBC的面积为，三棱锥的体积

（2）显然，四棱锥S-BCED与三棱锥S-ABC的高相同，底面积也有直接的关系，它们两个的体积肯定可以相互转化.

△ADE与△ABC的相似比为，

所以它们的面积之比为，

所以梯形BCDE的面积为△ABC面积的，

例15图②

所以四棱锥S-BCED的体积为三棱锥S-ABC体积的，即

（3）求三棱锥的高当然可以用等体积法进行转化：

在△SAB，△SAC，△SBC中，可以分别求得

此时求△ABC的面积，可以预见到运算量很大而且复杂.

正难则反，遇繁则转.可否转化成平面几何的推理和计算呢？因为我们知道，适当的推理可以减少运算量的.

作SO⊥底面ABC于O，连接SO并延长交BC于D，连接SD.

这样一来，我们就把目标转化到Rt△SAD中来了（因为SA⊥平面SBC）.

因为BC⊥SA，BC⊥SO，SA∩SO=S，

所以BC⊥平面SAD，所以BC⊥SD.

Rt△SBC中，由等面积法可得斜边BC上的高

Rt△SAD中，

由等面积法可得斜边SD上的高为：

这就是所求的顶点S到底面ABC的距离.

说明：本例的三个问题无一不是转化思想的作品.（1）中，换了一个顶点，转化到一个新的视野之中，三棱锥的高和底面积便一眼洞穿.（2）中，四棱锥的体积转化成了三棱锥的体积，而后者是容易求解的.（3）中，把立体几何的复杂推算转化成了平面几何中直角三角形的斜边上的高（两次计算），运算量大大下降了.

另外，（3）中，我们曾试图用等体积法进行单纯的计算，最终因为过于烦琐而放弃了.事实果真如此吗？如果你关注到本题的一项重要特征：a，b，c地位的等价性，结论必定是三者的轮换式.问题可能没有你想象的那么繁杂，在底面三角形ABC中施行余弦定理的时候，cosA和sinA的求解结果可能庞大但肯定会规则有序.你试试看，肯定别有一番感慨.

等价转化是科学的数学发展观，它可以使我们明确思维方向，优化研究过程，降低问题难度，稳健地开发问题的解决方法.

在把问题进行转化的过程中，我们对问题的认识可能发生转变，或者更加清晰地理解了问题的条件和结论，或者发现了问题的隐含条件，也可能带来思想上的灵感.

可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换，也可以在宏观上进行等价转化.例如，在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.

变，就能带来新发现；转化就能带来新动能，一成不变就是形而上学，不会给数学研究以任何帮助.

例16 （x+1）2+（x+1）3+（x+1）4+……+（x+1）n+1的展开式中，x2的系数等于_________.

探究：用二项式定理逐项展开可得x2的系数为：

C22+C23+C24+……+C2n+1.

显然，这个求和的计算量和难度都较大.

重新观察原问题的结构可以发现，先转化为一个等比数列的求和问题，然后在新的背景下研究结论，或许会有新的发现.

这样一来，原式中x2的系数就转化成了上式分子中x3的系数，

说明：问题一旦转化，会变得如此简洁美妙！由此可见，遇见问题，先化简先转化，往往比直接奔向目标要有效得多.

例17 一件正三棱锥的工艺品，侧棱长度为1，如何设计才能使其体积最大？为什么？

探究1：如例17图①，三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=1，△ABC为等边三角形.

过P作PO⊥平面ABC于O，则O的底面的中心，连接AO并延长交BC于M.

设PO=x（0＜x＜1），在Rt△PAO中，

例17图①

容易求出△ABC的面积

三棱锥的体积

利用导数的方法可得时，三棱锥的最大体积为

说明：请你思考：在上面的背景下，如果你假设底面边长为x，最后的体积函数将是一个比较复杂的无理式，你知道这是为什么吗？由此可见，自变量的选择还是有点讲究的.在变化过程中，我们要用发展的眼光去探测前进道路上的“暗礁”，防“繁”于未然.

探究2：如例17图②所示，在初中我们就知道，一个腰长为1的等腰三角形，当其成为直角三角形的时候，一条腰“站立”在另外一条腰上，从而使得高取得最大值，进而面积最大.

换个角度思考会怎样？把一条腰“摆平”，问题清晰起来了.传统等腰三角形的画法是把两条腰放在左右两侧，底边水平放置，那样就不太好建立直接联系了.

例17图②

另外，三角形面积也可以看出当，即OA⊥OB时，三角形的面积最大.

立体几何问题可以类比一下平面几何的方法，将两条侧棱PA，PB所在平面看成三棱锥的下底面，如例17图④所示.显然，当PA与PB垂直时，它们所在三角形的面积最大.

例17图③

由于原三棱锥的三个侧面是全等的，所以此时线段PC也“站立”起来了；也就是说，三棱锥C—PAB的底面积和高同步取得最大值，所以三棱锥P—ABC的最大体积为

例17图④

说明：第二种方法异常简洁优美，这完全得益于我们转变了对问题的观察角度.

例18 f（x）=-x+log2（4x+1），判断f（x）的奇偶性并求其最小值.

探究1：观察函数的表达式，一个极端不对称的结构，对数符号把它们分隔成无法联系的两部分，所以我们的转化思路应该是将函数表达式统一到一个对数符号之下.

请注意，4x=（2x）2，f（x）=log22-x+log2（4x+1）=log2（2x+2-x）.

这样一来，问题变得如此简洁明快.显然，该函数为一个偶函数.利用均值不等式可得当x=0时，函数取得最小值1.这么奇妙的结果，完全来自无奈之下的选择：转化，把函数的表达式统一一下，应该会有新奇的发现.

探究2：f（-x）=x+log2（4-x+1）=

所以f（-x）=x+log2（4x+1）-log24x=-x+log2（4x+1）=f（x），

所以f（x）为偶函数.

说明：求函数的最小值，求导可是一个常规选项，你自己试一下.如果你执着地去做，看似困难的事情也并不可怕.

有些问题，初看起来，“一地鸡毛”，勇敢地付诸行动，你会感受到意外的美妙！

求变转化很可能给我们带来全新的视野.在没有明确思路的情况下，发展条件转化结论，获得部分阶段性成果.我们在不断的求变中，不断获得新的发现，走向成功的概率不断增加.