高中数学思想方法：等价转化思想的应用

我们在一个复杂的社会环境中生存，面对大量的不确定性，就像在茫茫大海中的一条船，如果不能确定那些解决问题的基本方法，没有那些常见环境下的常规操作规范，每一次遇到新问题都要从零开始创新.只靠着自己的勇敢机智，那其实不是真正的创新和智慧，那就是漂泊和流浪；遇到困难的时候，不仅无章可循、无法可依，而且工作低效，还可能经常置自己于险境之中.

初等数学的解题也是这样，问题千变万化、无穷无尽，我们需要创新，但是数学底层的基本方法是我们立于不败之地的根本.所谓数学解题，就是把不熟悉、非标准、复杂的问题转化为熟悉、标准、规范、简单的问题，这就是等价转化的思想方法.所以，要真正提高数学研究能力，第一要熟练掌握数学的基础知识、基本方法和基本技能，第二还要具备将问题进行转化的意识、方法和能力.

例1 已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程为________.

探究：偶函数y=f（x）的图象关于y轴对称，曲线y=f（x）在点（1，-3）处的表达式未知，所以问题可以进行适当转化：曲线y=f（x）在点（-1，-3）处的切线斜率与在点（1，-3）处的切线斜率互为相反数.

x＜0时，，所以函数在（-1，-3）处的切线斜率为2，

所以（1，-3）处的切线斜率为-2，

所以（1，-3）处的切线方程为y=-2x-1.

说明：借助于函数性质和数形结合，将未知区间的性质转化到已知区间，求解后根据二者之间的关系进行还原，这就是转化思想的应有之意.

如果把该题的条件变动一下：把“偶函数”改成“奇函数”，则函数图象上对称的两个点处的切线关于原点中心对称，方法几乎完全同样.你试试看，答案是y=2x-5.

另外，x＞0时，函数f（x）的表达式也是可以求出来的，也是转化的思想方法.

若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=lnx-3x；又f（x）为偶函数，所以上式可化为f（x）=lnx-3x（x＞0），此时在求得结论就很直接了.

如果把该题的条件变动一下：把“偶函数”改成“奇函数”，则x＞0时，f（x）的表达式也是可以求解的.

若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=lnx-3x，又f（x）为奇函数，所以上式可化为-f（x）=lnx-3x，所以f（x）=-lnx+3x（x＞0）.

上述转化过程常被简称为“设转代”.这确实很形象.“设”就是假设目标元素在结论的未知区间内；“转”就是将该元素转化到条件给定的已知区间内；“代”就是依据题目的其他条件，将转化后的元素代入给定的函数表达式，结合题目其他条件，对其进行持续发展，最终的尽头肯定是本题的结论.

根据上述分析，请你完成以下问题.

f（x）是R上的奇函数，也是以2为周期的周期函数，当0＜x＜1时，f（x）=2x，求2017＜x＜2018时f（x）的函数表达式.

探究：2017＜x＜2018时，-1＜x-2018＜0，此时，0＜2018-x＜1符合题给的范围，代入可得f（2018-x）=22018-x.

又f（x）的周期为2，所以上式可化为f（-x）=22018-x.

又f（x）为奇函数，所以上式可化为f（x）=-22018-x（2017＜x＜2018）.

说明：请看在转化的过程中，结论的转化与条件的发展结合的多么和谐.“发展条件，转化结论，瞻前顾后，建立联系”这16个字，代表着数学研究的通性通法.

例2 如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M，N分别为OA，OB的中点，在这两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是________.

例2图

探究：假设半径OA=r，两个半圆的另一个交点为C，则△OAC和△OBC均为等腰直角三角形，所以A，C，B三点共线且AC=OC=BC，所以两个半圆内，以OC为弦的两个弓形与以AC、BC为弦的两个弓形是全等的.(www.xing528.com)

用扇形OAB的面积减去△OAB的面积，再减去两个弓形的面积，就是无信号部分的面积.两个弓形的面积之和，可以转化到半圆OAC中，它等于半圆面积减去△OAC的面积.

无信号部分的面积

所求概率

说明：本题考查的是几何概型，关键却是割补法求面积的等价转化思想.不规则图形的面积可以通过割补法转化为规则图形的面积的和或差的计算.这种思想不仅仅在平面几何中常用，在立体几何的体积计算中更是比比皆是.

例3 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，截面EFGH分别与四条侧棱AA1，BB1，CC1，DD1交于E，F，G，H，AE=1，BF=2，CG=4，DH=3，求几何体ABCD—EFGH的体积.

探究：ABCD—EFGH是一个不规则几何体，不易求得其体积，但是如果将其复制一个，完全可以与原几何体对接成一个长方体.这个新长方体的高为5、体积为60，其一半即为所求.几何体ABCD—EFGH的体积为30.

说明：方法很简单，思想却伟大，转化行之有效.

例3图

例4 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）.

A.p1=p2

B.p1=p3

C.p2=p3

D.p1=p2+p3

探究：概率p1，p2，p3的关系可以转化为区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积.

例4图

不失一般性，可以假设AC=6，AB=8，BC=10.因为三个半圆分别以AB，AC，BC为直径，所以以BC为直径的半圆面积为、以AB为直径的半圆的面积为、以AC为直径的半圆的面积为

因此，区域Ⅰ的面积为24，区域Ⅱ的面积为两个半圆减去两个弓形；而两个弓形的面积等于大半圆面积减去直角三角形的面积，即

故此点取自Ⅰ、Ⅱ的概率p1=p2，故本题正确答案为A.

说明：越是复杂的图形或问题，越需要我们对其进行转化.耐心对其进行观察分析，转化的方法和方向是可以把握的.

函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想其实就是等价转化思想的特定形式.

本节研究一般意义下的等价转化思想，将分别论述以下问题：等价转化的作用，等价转化的基本方式，等价转化的两类具体问题.