高中数学分类讨论因素及解法分析

数学概念可能引起分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、函数的性质等.

例19 函数的值域是_________.

探究：显然分类标准应该是角x所在象限：当x分别在第一、二、三、四象限时，函数值分别为：3，-1，-1，-1.

综上所述，函数的值域为{3，-1}.

由性质、定理、公式的限制可以引起分类讨论：有些定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致.

例20 若a＞0且a≠1，p=loga（a3+a+1），q=loga（a2+a+1），则p，q的大小关系是_________.

探究：欲比较p，q这两个对数的大小，往往需要对底数a的两种可能的范围进行分类讨论.

当a＞1时，a3+a+1＞a2+a+1，此时loga（a3+a+1）＞loga（a2+a+1），即p＞q；

当0＜a＜1时，a3+a+1＜a2+a+1，此时loga（a3+a+1）＞loga（a2+a+1），即p＞q.

可见，不论a＞1还是0＜a＜1，都有p＞q.

说明：施行数学运算可能引起分类讨论：如除法运算中除数不为零，对数的真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数都有不同的结果，方程两边约分需明确约分对象是否为零等.

例21 判断下列说法是否正确.如果正确，请说明理由；如果错误，请改变条件或者结论，使之成为一个正确的命题.

（1）若a，b均为非零实数且a＞b，则

（2）若a＞b，c＞d，则ac＞bd.

探究：（1）把a＞b的两边同时除以ab可得，也可能有些人想当然地默认a，b均为正数，从而认定结论正确.其实，这是错误的.它们不仅仅不一定均为正数，甚至都不一定均为负数，很可能一正一负，共有三种情形，前两种都是对的，第三种情况下是错误的.

实际上，a＞b两边同时除以ab可得，但是这必须确保ab＞0，也就是当a，b符号相同时原结论正确.

（2）不等式两边同时乘以同一个数，不等号的方向的变化是不一定的.同第一问一样，当四个数均为正数时结论正确，当四个数均为负数时结论刚刚相反.

说明：有些问题可能不给出图形，图形的不确定性可能引起分类讨论.

例22 三个平面两两相交，有三条交线，判断三条交线的位置关系并证明.

探究：数形结合一下，联想到三棱柱的三个侧面和三棱锥的三个侧面，我们可以大胆判断：三条交线要么相交于一点，要么相互平行.

设三个平面为α，β，γ，

且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a.

因为α∩β=c，α∩γ=b，

所以c∈α，b∈α；所以c与b交于一点或互相平行.

（1）如例22图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P.

由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ，

所以P∈β∩γ=a.

例22图①

所以，直线a，b，c交于一点（即P点）.

（2）如例22图②，若c∥b，则由b⊂γ，且c⊂γ，

所以c∥γ；

又由c⊂β，且β∩γ=a，

所以c∥a，

所以，直线a，b，c互相平行.

说明：画出图形，问题变得直观起来.结合图形，各种定理接踵而来，问题的解决便水到渠成了.图形既要直观形象也要全面，不能过于特殊而以偏概全.(www.xing528.com)

例23 f（x）=x2-2ax-3a.

（1）若在[0，2]上的最小值为-4，求a的值.

（2）若在[0，2]上的最大值为-5，求a的值.

探究：二次函数最值的讨论可能困扰同学们很长时间，其研究方法不外乎画出图形，数形结合和分类讨论，让对称轴相对于定义域运动，在运动过程中可以发现函数的最值在何种情况下发生质的变化.

①当对称轴x=a在y轴的左侧时，a＜0，此时最小值为f（0），即f（0）=-4可得（舍去）.

例22图②

例23图①

②当对称轴x=a在[0，2]内时，此时最小值在对称轴处取得，即f（a）=-4可得a=-4（舍去）或1.

例23图②

③当对称轴x=a在直线x=2的右侧时，a＞2，此时最小值为f（2），即f（2）=-4可得（舍去）.

例23图③

综上，a=1.

（2）①若对称轴在定义域中点或左侧即a≤1，则最大值为f（2）=-5可得（舍去）.

②若对称轴在定义域中点右侧即a＞1，则最大值为f（0）=-5可得a

综上，

说明：参数的变化可能引起的分类讨论，某些含有参数的问题，如含参数的函数、方程、不等式，由于参数的取值不同会导致研究路径的不同和所得结果的差异.

例24 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率.已知点到这个椭圆上的点Q的最远距离是，求椭圆的标准方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点Q的坐标.

探究：设所求椭圆方程为

因为

所以，即a=2b.

设Q（x0，y0），则，即x20=4b2-4y20，

所以，两个变量，应该考虑消元一下，这就要用到上述等式.

设，则f（y0）是开口向下的二次函数，其对称轴，定义域y0∈[-b，b].

该函数的最大值问题显然要针对其对称轴与定义域的相对位置进行分类讨论.

①若即时，

解得，与不合，舍去.

②若即时，

解得，b=1，符合题意，所以a=2，

所以椭圆方程或

说明：一般来说，不管在条件还是在结论当中，只要出现某一主要元素的最值的信息，就是构建它的目标函数.

本题里面借助于二次函数中的对称轴与定义域区间的相对运动，让参数b变化起来，在定义域变化过程中，看其是否包含对称轴，这样特别方便我们进行分类讨论.该题也可以使用椭圆的参数方程来表达出距离函数.对此，你不妨试一下.

总之，分类讨论与整合，是初等数学重要的思想方法之一，在历年的高考和竞赛试题中都体现出其重要的位置.分类讨论与整合，不仅具有明显的逻辑性和思辨性，而且题型覆盖知识面极为宽泛、综合性强，有利于对基础知识、基本方法、基本技能的考查，对此需要有一定的分析能力和分类技巧.

分类讨论思想的实质也是一种转化，针对数学问题中各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题策略，它不仅能强化我们对数学的深刻理解，还可以从根本上提高我们的数学学习能力和研究能力.只要我们坚持上述的分类讨论和整合的基本原则，相信相关的数学问题都会得到圆满的解决.