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高中数学研究中分类讨论思想的重要作用

时间:2023-08-08 理论教育 版权反馈
【摘要】:分类讨论可以有效降低问题难度,明确解题思路,发现或者构造问题的简单解法.分类讨论能把模糊的不确定的问题转化成清晰的确定的子问题.这个时候,我们可以更加清楚地发现问题内部元素之间的联系规律.前面已经说过,如果分类标准清晰有效,那么就给我们增设了一个可以直接使用的条件.这个条件不仅仅会降低问题的难度,更会及早地洞察问题的结论.例1 设0<x<1,a>0且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(

高中数学研究中分类讨论思想的重要作用

分类讨论可以有效降低问题难度,明确解题思路,发现或者构造问题的简单解法.

分类讨论能把模糊的不确定的问题转化成清晰的确定的子问题.这个时候,我们可以更加清楚地发现问题内部元素之间的联系规律.

前面已经说过,如果分类标准清晰有效,那么就给我们增设了一个可以直接使用的条件.这个条件不仅仅会降低问题的难度,更会及早地洞察问题的结论.

例1 设0<x<1,a>0且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

探究:比较大小最常用的就是作差法,通过作差,对问题进行抵消约分合并同类项等化简措施.但是,该题的两个绝对值符号“十分顽固”,是最大的解题障碍,去掉绝对值符号本身就是一种化简.做到这点的主要方法就是针对绝对值内元素的符号分类讨论.

因为1+x>1,0<1-x<1,所以当a>1时,loga(1-x)<0,loga(1+x)>0,

|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-[loga(1-x)+loga(1+x)]

=-loga(1-x2).

因为a>1,0<1-x2<1,

所以-loga(1-x2)>0,

所以|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

当0<a<1时,loga(1-x)>0,loga(1+x)<0.

|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x2).

例1图

因为0<a<1,0<1-x2<1,

所以loga(1-x2)>0,

所以|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

综上所述,当0<x<1,a>0,a≠1时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

说明:分类讨论有效地解决了难缠的绝对值问题,使得对数的运算法则和对数函数的性质能够充分地发挥作用.在分类讨论整合的前提下,问题越来越简化,思路越来越清晰.

其实,该题也可以画出函数f(t)=|logat|的图象.如图所示,你会发现,无论a>0还是0<a<1,其图象都是一样的:

在(0,1)上为减函数,图象下降很快;

在(1,+∞)上为增函数,增长缓慢.

所以,f(1-x)>f(1+x),所以|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

这是一个靠观察得到的结论,但没有得到严格的证明.上述的分类讨论过程,就是对我们观察结果的可靠性的证明.

例2 定点p(0,a)(a>1)到曲线上的动点Q(x,y)的最小距离为5,求a的值.

探究:如图是的图象,可分两段.

例2图

时,曲线方程为,显然|PQ|的最小值d1=a-1.

时,曲线方程为,即x2=2y+2,

所以y=a-1时,|PQ|的最小值

所以,当时,|PQ|的最小值为a-1此时1<a≤4.

时,|PQ|的最小值为,此时,a>4,

即|PQ|的最小值

当1<a≤4时,最小值a-1=5,所以a=6(舍去).

当a>4时,最小值,可以解得a=12.

综上所述,a=12.

说明:此题有两种分类讨论:

1.将曲线分为两段,求每一部分上的最小值后,再选择确定整体上的最小值.

2.在两个最小值的选择时,又进行了一次分类讨论,最后求解就用了这一次分类讨论的结果.

通过分类讨论,把一个不确定的整体性的难题分解成了几个单纯清晰的小问题,探究难度大大降低了,最后的整合完成了局部到整体的转化.

例3 某车间有10名工人,其中7人会车工,6人会钳工,现需选出6人完成一件工作,需要车工钳工各3人,问:有多少种派工方案?

探究:画出韦恩图容易看出;有3人全能,4人仅会车工,3人仅会钳工.

按照分步乘法计数原理,需要两个步骤:第一步选派车工,第二步选派钳工.

例3图

如果先考虑车工,因有7人会车工,故有C37种选法,但这些三人组合当中,到底有几个是全能的是不一定的,其对后面钳工的选择有完全不同的影响,因此需对全能工人进行分类.

方法1:选出的6人中不含全能工人;

选出的6人中含有一名全能工人;

选出的6人中含2名全能工人;

选出的6人中含有3名全能工人.

C34·C33+C34·C13·C23+C24·C13·C33+C23·C13·C34+C23·C14·C33+C23·C24·C23+C33+C34+C23·C14·C23+C23·C13·C24=309.

方法2:显然上述分类有些复杂,主要原因是选出的全能者,其去向还要二次讨论.

可以考虑按照选择车工的时候,到底包含了几个全能者来分类.

选择车工的时候,不选择全能者,那么钳工的选择范围便是6人;

选择车工的时候,选择了1名全能者,那么钳工的选择范围便是5人;

选择车工的时候,选择了2名全能者,那么钳工的选择范围便是4人;

选择车工的时候,选择了3名全能者,那么钳工的选择范围便是3人.

C34·C36+C24·C13·C35+C14·C23·C34+C33·C33=309.

说明:排列组合问题,主要是考查分类讨论的能力.解答这类题时,首先要确定好分类的对象.解这个题时,可以对全能工人进行分类,也可以对仅会钳工的人分类,还可以对仅会车工的人分类.不过,一般选择对象个数少的作为分类对象,这样讨论的类别相对就会少些.

分类之前,我们对问题的认识比较模糊;分类之后,由于内容比较单一,加上分类标准的指引,问题变得简单了,更容易获得解决方案.

分类最好一次搞定,不要牵扯到二级分类,分类之中再分类,这样太烦琐.

针对各类问题,分级进行,逐类讨论,逐步解决,不断获取阶段性结果,以循序渐进的形成对问题总体把控,最后进行归纳小结、综合得出结论,这是分类讨论思想的基本方式.

分类讨论是我们进行有效探究的主要方式.

万事开头难.对那些条件杂乱的问题,我们可能不能马上洞察其思路,但是它的一些子问题还是容易解决的.通过对子问题的不断突破,我们的思路可能会逐步明朗起来,问题的整体思路就会逐步显现出来.

例4 把不超过实数x的最大整数记作[x],则函数f(x)=[x]称作取整函数,又叫作高斯函数.在[1,4]上任取x,则的概率为( ).

A. B. C. D.

探究:当我们思路不清的时候,可以对x的范围进行讨论,希望能从此打开思路.

当x∈[1,2)时,,此时

当x∈[2,3)时,,此时

当x∈[3,4)时,,此时[x]=3而

所以的概率为.

说明:分类讨论有时候不需要理由,它本身就是一个试探甚至是试错的过程.这也是一个审题的过程,在这个过程中,我们的思路慢慢被理顺了.

例5 三个不等实数的乘积为-8,将它们恰当排列后,可以成等差数列,也可以成等比数列,求这三个数.

探究:考虑到“三个不等实数的乘积为-8”,可设三个数按等比数列排列为

所以a=-2.

这三个数成为,-2,-2q(只要求出q即可,应该找到一个关于q的方程).(www.xing528.com)

又因为它们成等差数列,本来这三个数的排列数有6种,但是当我们按部就班的精心讨论的时候,可以发现按等差中项的不同可简化为以下三类.

为等差中项,则,解得q=1(舍去)或-2此时三个数为:1,-2,4;

若-2为等差中项,则,解得q=1(舍去);

若2q为等差中项,则,解得q=1(舍去)或

此时,三个数为1,-2,4.

综上所述,这三个数为1,-2,4.

说明:因为条件之一为三个数的乘积为-8,所以我们采用等比数列的常规设置.

三个数成等差数列,其排序方式有六种之多,但是当你真正地去分类讨论的时候你会发现,对等差中项进行分类,问题还可以继续简化.

例6 有卡片9张,将0,1,2,3,4,5,6,7,8这9个数字分别写在每张卡片上,先现从中任取3张,组成一个三位数,若6可当9用,则可组成不同的三位数多少个?

探究:9个数排列成三位数:8×8×7=448.

其中,用到6的排列:

若6排在百位,则有8×7=56种;

若6排十位,则有7×7=49种;

若6排个位,则有7×7=49种.

因6可以当9用,故上述三种情况应该再加一遍,总和602.

另外,可以考虑间接法:假设9也参与排列,共有9×9×8=648种.

减去同时含6和9的,这需要讨论第三个数:

若第三个数为0,则有2×2×1=4个;

若第三个数不是0,则有7×3×2×1=42个.

最终答案为648-4-42=602.

说明:分类讨论可能在开始阶段有些迷茫,只透射到问题的一方面,但是,随着研究的深入,我们可以对问题有更明确的认识,甚至也能改正前面的某些不足或错误.

解答本题时,对于0,6,9三个数字的研究和安排是解题的关键.从简单开始,用过6的加倍计算,没有用过6的只算一次,所以是否用6就成了分类的标准;而在这些用过6的排列中,到底有几个,还要看0的“脸色”,所以是否用0又成了新的分类标准.

当分类讨论成为我们的解题习惯时,你的思考就容易走向正确的方向,而且严谨全面细致的风格会一直伴随着你,不犯错误、少走弯路就是一种大概率事件.

分类讨论可以让我们深刻理解数学问题的本质,真正形成数学能力.

在分类讨论和整合的过程中,无论是对审题,还是对思路的探究,还是对解题思想和研究成果的准确规范的表述,甚至是解题最后的整合过程,对我们的数学能力都是一次再夯实的过程.在这些过程中,我们对相关知识和方法的理解认识和把控,肯定会有一次次的提升.

例7 函数f(x)=-x2+|x-2|-1.(1)求证:该函数为非奇非偶;(2)求函数的最大值.

探究:(1)因为f(2)=-5,f(-2)=-1,

所以f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)都不是恒成立,

所以f(x)既不是偶函数也不是奇函数.

(2)当x≥2时,f(x)=-x2+x-3,这是一个二次函数对称轴为直线

则f(x)为[2,+∞)上的减函数,此时fmax(x)=f(2)=-5.

当x<2时,f(x)=-x2-x+1,这也是二次函数,对称轴为直线x=

则f(x)在上为增函数,在上为减函数,

此时

综上,

说明:本题第一问考查分段函数的奇偶性,用反例分两种情况进行判断;第二问求函数的最值时,也是采用了分类讨论的方法,先通过分类讨论去掉绝对值符号,然后在每一种情况下分别求出函数的最大值,最后整合出问题的最终答案.

通过该问题,我们对函数奇偶性的否定(反例即可)和二次函数最大值的分类整合的认识,上升了一个档次.

例8 已知数列,数列{an}有最大项最小项吗?如果有,请说明分别是第几项;如果没有,请说明理由.

探究:

此时我们只要考查即可.

显然,当n=1,2,3,…,9时,{an}是递减的且an<1,最小值正在其中,也就是a9.

当n=10,11,12,…时,{an}是递减的且an>1,最大值正在其中,也就是a10.

如图所示,数列的图象是一些离散的点,它的两部分被直线y=1和分开了,其中左侧只有9个点.

例8图

说明:本题的分离变量的方法和分类讨论是研究成功的关键.通过对自变量取值范围的合理分类,我们更加深刻理解了函数单调性与数列性质的相互关系.如果你在分离变量之后,作出该数列的大致图象(它被直线y=1分割成上下两个部分,都是些离散的点),数形结合一下,我们的理解会更上一层楼.

这道题也可以采用导数的方法,结合离散的函数图象,注意定义域,问题可能也很容易解决.请试试看!

例9 已知函数

(1)试判断f(x)在定义域内的单调性;

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求实数a的值;

(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

探究:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),且

可得f(x)在x>-a时为增函数,但-a不知在何处,所以把x>-a与定义域取公共部分,在数轴上把x>-a与x>0画出来.随着-a的运动变化,分类讨论的标准就逐步确立下来了.

①若-a≤0即a≥0,则上述交集为整个定义域,即f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.

②若-a>0即a<0,则上述公共部分为x>-a,此时f'(x)>0,故f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减.

(2)由(1)的经验,我们也要在定义域[1,e]上讨论函数的单调性,x>-a与定义域[1,e]取公共部分,在数轴上把x>-a与[1,e]两个区间画出来.随着-a的运动变化,分类讨论的标准就逐步确立下来了.

①若-a≤1即a≥-1,则x+a≥0恒成立,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上递增,

所以,所以(舍).

②若-a≥e即a≤-e,则x+a≤0恒成立,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上递减,

所以,所以(舍).

③若1<-a<e即-e<a<-1,上述公共部分为-a<x<e,

当-a<x<e时,f'(x)>0,所以f(x)在(-a,e)上递增;

当1<x<-a时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,-a)上递减.

所以,所以

综上,

(3)因为

所以a>xlnx-x3恒成立.

令g(x)=xlnx-x3

因为当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,

所以h(x)在(1,+∞)上递减,

所以h(x)<h(1)=-2<0,即g'(x)<0,

所以g(x)在(1,+∞)上递减,

所以g(x)<g(1)=-1,

所以a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,

即a的取值范围为[-1,+∞).

说明:一般方法与本题的具体定义域相结合,在取交集的过程中逐步确定分类讨论的标准.在这个过程中,我们对函数的变量方法有了更加清醒的认识:不变是相对的.变是绝对的.参变量的控制与影响力是本题的主要特点.

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