高中数学思想方法-综合分析法，有效简化条件结论关系

综观初等数学问题的研究，无论是思考的探索过程，还是解法的执行过程，无一不是对问题的条件和结论不断向对方化简的结果.事实上，如果一个问题的条件和结论都化简了，它们之间的关系通道便一目了然了.

对于条件结论都复杂的问题，一般是两种方法结合运用，即综合分析的方法.

实际上，两种方法都不是单纯地由条件导出结论或由结论回溯至条件.综合法的推理方向，要体现结论的需要.那种不顾结论，对条件任意组合，大量地、无目的地推导过渡性结论的解题方法，既浪费时间，又带有极大的盲目性.同样，分析法也要针对条件，充分地分析结论，对要证什么、已有什么、还需要什么要瞻前顾后，逐步靠近条件；相反，那种不顾条件，只根据结论便划定需证需求范围从而逐个试探的方法，搜索范围太大，根本没有探索方向，无异于盲人骑瞎马，其效率是很低的.

例10 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其所对的三条边长分别为a，b，c.若c=3a，求的值.

探究：先去发展条件.

因为A，B，C成等差数列，

所以2B=A+C=180°-B，所以B=60°，A+C=120°.

方法1：看到结论都是角的关系，则c=3a应该化为：sinC=3sinA.

到这里，有点失去了方向，于是我们再从转化结论入手.

所以，此时应该根据sinC=3sinA，求出sinAsinC的值来.sinC=3sinA可化成sin（A+B）=3sinA（消去了一个未知数，B为已知数），展开可得：

，整理可得：

两边平方可得3cos2A=25sin2A，即3（1-sin2A）=25sin2A，

解得，所以.所以原式=

方法2：由余弦定理可得b2=a2+c2-bc.

将c=3a代入上式可得

这样一来，三条边统一成一条边了，消元就是有效发展.

而

说明：解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来运用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q'；根据结论的结构特点去发展条件，得到中间结论P'.若由P'可以推出Q'成立，就可以证明结论成立.本题在条件和结论中间的不断转换过程，充分地利用了三角函数的性质，利用正弦定理和余弦定理，逐步拉近条件和结论间的距离，直至能够“看清对方”为止.

把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的.这在数学方法论上也是不应该的.多种方法的结合一定会有利于问题的解决.限定单一的方法，无异于画地为牢.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它.

例11 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面是斜边为AC的直角三角形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求证：平面PAC⊥平面AEF.

例11图

探究：要证两个平面相互垂直，只要证明其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.

结合题目条件分析，这条直线很可能就是平面PAC内的PC.

发展条件：

因为BC⊥AB，BC⊥PA（PA⊥平面ABC），

所以BC⊥平面PAB.

又AE在平面PAB内，所以BC⊥AE.

又因为AE⊥PB，PB，BC是平面PBC内的两条相交线，

所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥PC.

又AF⊥PC，AE，AF是平面AEF内的两条相交线，

所以PC⊥平面AEF.

又PC在平面PAC内，

所以平面PAC⊥平面AEF.

说明：只有将分析法和综合法结合起来，才能认清条件和结论间的辩证关系.在某种程度上，结论也是一种条件，它是发展条件的最终目标.有时候条件也是一种结论，在不断转化结论的时候，需要明确转化的方向，那就是条件的所在.

例12 如例12图①，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF=2，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点.

（1）求证：FH∥平面EDB；

（2）求证：AC⊥平面EDB；

例12图①

（3）求该多面体的体积和表面积；

（4）二面角B-DE-C的大小.

探究：（1）线面平行的证明一般转化成线线平行问题.也就是说FH“漂移”可以进入平面EDB成为EG（G为AC的中点）.

设AC与BD交于点G，则G为AC的中点.

连接EC，GH，由于H为BC的中点，故GH

例12图②

又，所以EFGH，

所以四边形EFHG为平行四边形，

所以EG∥FH，而EG⊂平面EDB，所以，FH∥平面EDB.

（2）结合结论要求，不断地发展题目中的平行和垂直的各种条件，力求使之与结论建立联系.

正方形ABCD中，AB⊥BC，又EF∥AB，

所以EF⊥BC，而EF⊥FB，所以EF⊥平面BFC，所以EF⊥FH，所以AB⊥FH.(www.xing528.com)

又BF=FC，H为BC的中点，所以FH⊥BC，

所以FH⊥平面ABCD，所以FH⊥AC.

又由第（1）问FH∥EG，所以AC⊥EG.

又AC⊥BD，EG∩BD=G，所以，AC⊥平面EDB.

（3）该多面体的体积可以看作一个直三棱柱割掉一个三棱锥后的结果，也可以看成一个四棱锥和一个三棱锥的体积之和为

表面积为一个直角三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形、一个正方形的和为

（4）建立空间直角坐标系用向量解决或者用线面线线的垂直关系（三垂线定理）可得二面角大小为60°.

说明：立体几何中的线面关系很多，其中包括线线平行、线面平行、面面平行等.这些问题的证明，大多是综合分析法，它们之间可以相互转化的.当然，线线垂直、线面垂直、面面垂直这些问题的证明，也往往是综合分析法，它们之间也可以相互转化.立体几何中的判定定理大多用来转化结论，性质定理大多用来发展条件.

例13 已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）.

（1）若直线y=x-1与曲线y=f（x）相切，求实数a的值；

（2）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；

（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＞x2），求证：x1x2＞e2.（e为自然对数的底数）.

探究：（1）设切点为（x0，f（x0）），则f（x0）=lnx0-ax0，

由导数的几何意义.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y-（ln x0-ax0）=，即

从而有，且lnx0-1=-1，解得x0=1，a=0.

（2）f（x）=lnx-ax（a∈R）无零点可以转化成方程lnx-ax=0无解，即无解.

令

显然0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，

x＞e时g'（x）＜0，g（x）为减函数，

所以g（x）最大值为

结合函数g（x）的图象可知，时原函数f（x）无零点.

（3）方法1：f（x）有两个零点，即有两个根.

0＜x＜e时，g（x）为增函数，

x＞e时，g（x）为减函数，

的图象如图所示，

例13图

所以方程的两根x1，x2满足：lnx1=ax1，lnx2=ax2，0＜x2＜e，x1＞e，且

要证明x1x2＞e2，只要证明即可，而

这是g（x）的单调增区间，

所以只要证明，即：

，又lnx1=ax1，lnx2=ax2，

所以只要证明，但

所以只要证明（a被消掉了）即可.

到此为止，我们把所有的元素都用x1表示出来了，最大限度地达成了消元的目标，接下来只需要证明：

（注意：此时我们并没有去掉分母，因为可以保留我们熟悉的两个函数和xlnx，为接下来的求导运算做好从简准备）.

接下来只要研究即可.

因为

所以h（x）为增函数；所以h（x）＞h（e）=0.

方法2：由题意，lnx1=ax1，lnx2=ax2，

所以lnx1+lnx2=ax1+ax2，lnx1-lnx2=ax1-ax2，

即

于是

可见，只要证明即可.令，因为x1＞x2＞0，所以t＞1，而，只要证明t＞1时lnt＞成立即可.

令，则

当t＞1时，，所以函数h（t）在（1，+∞）上是增函数，

从而当t＞1时h（t）＞h（1）=0，即t＞1时成立，

所以x1x2＞e2.

说明：（1）中用的是综合法，发展条件达到充分的地步，自然会根据切线方程求出相关元素；（2）中用的综合分析法，在发展条件的同时，注意到结论是求a的范围，所以将问题进行了转化，通过分离变量、数形结合，把结论的要求转化成了两个函数图象没有交点的标准问题；（3）的难度较大，如果没有条件和结论的齐头并进，很难找到解决问题的办法.

综合分析是初等数学的基本研究方法，而其主要形式是不断化简.综合法与分析法两种探究方式，在研究问题时会相得益彰、相辅相成.一方面，只有对问题的条件和结论不断化简，才能对其进行深刻的综合分析；另一方面，只有综合分析，才能为进一步化简指明方向.通过这种双向反馈，可以对解题过程不断作出肯定或否定的评价，使之在不断调控的过程中沿着正确的方向前进.