高中数学思想方法：综合法的研究特点与应用技巧

综合法的研究特点是从发展条件开始，利用已知的数学定理、性质和公式，逐步推向结论.

综合法的基本特征是连续化简，如果把条件化简到充分的地步，从条件通往结论的路径也就一览无遗了.

对于条件复杂而结论简单的问题，我们应该采用综合法，从发展条件出发，逐步得到结论.化繁为简符合人的一般认知习惯和规律，不仅容易打开局面，而且一般都能得到有效的化简结果.

化简的基本方式有去分母，去根号，去绝对值号，通分，合并同类项，有序排列，消元，降幂，缩小相关元素的范围等.当实施这些措施以后，距离结论就更近了.

例1 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，求证：△F1PF2的面积为定值.

探究：因为椭圆与双曲线有相同的焦点.所以m-1=n+1.所以m-n=2，n=m-2.|F1F2|=

椭圆与双曲线的方程联立可得，可以解得

所以三角形F1PF2面积

说明：该题条件多而且复杂，结论倒很简单.我们用了综合法，从条件出发，向着结论不断化简，比较自然地获得了结论.其中，用到了n=m-2（消元就是化简）.在联立方程组的时候，消掉x，留下y，体现了结论的需要（三角形的高就是一个交点的纵坐标）.不断化简，首尾兼顾，是综合法的一个原则.

例2 记方程（1）：x2+a1x+1=0，方程（2）：x2+a2x+2=0，方程（3）：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数.当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程（3）无实根的是（ ）.

A.方程（1）有实根，且（2）有实根 B.方程（1）无实根，且（2）有实根

C.方程（1）无实根，且（2）无实根 D.方程（1）有实根，且（2）无实根

探究：设等比数列的公比为q，则本题的结论：方程（3）无实根等价于a23=a21q4＜16，即a1q2＜4……①.

由A可得a1≥2且（a1q）2≥8，即，所以a1和q可以足够大，由此显然推不出①式；

由B可得a1＜2且，所以a1可以相对固定（如等于1），而q可以足够的大，由此显然推不出①式；

由C可得a1＜2且，所以a1可以足够小，（如等于），而q却可以相对较大（如q=5），由此显然推不出①式；此时就应该选D.

由D可得a1≥2且，所以，所以a1q2=，也就是①式成立.(www.xing528.com)

说明：综合法的推进过程不一定是等价推理，但是前者至少应该是后者的充分条件；不等式的推进过程中，必须确保不等号的传递性.只有这样，得到的结果才是可靠的.

例3 f（x）=sin4x+cos4x+asinxcosx.（1）a=0时，求函数的周期和单调增区间；（2）若函数没有零点，求证：-1＜a＜1.

探究：三角函数问题的基本化简要求是标准化，将所给函数变成“一角一次一函数”的形式，甚至有些同学结合山东地方特色写了一副对联“一山一水一圣人，一角一次一函数”，横批是“不断化简”.这是三角函数问题的目标和方式的完美总结.

(1)f(x)=(sin2x+cos2x)-2sin2x cos2x+asinxcosx=1-+

例3图

a=0时，

显然，其周期为π.

由2kπ-π≤2x≤2k可得函数的增区间为

（2）令sin2x=t，则

因为函数没有零点且g（0）=1＞0，函数g（t）的图象是开口向下的一段抛物线，只要抛物线弧的两个端点也在x轴上方即可，

所以问题等价于，所以-1＜a＜1.

说明：不仅仅证明题可以用综合法，解答题也可以用综合法；当综合法遇上数形结合，问题便可以得到更加完美的转化.换元法也能起到化简的作用.

例4 x为第二象限角，则的化简结果为（ ）.

A.0 B.2tanx C.4tanx D.-2tanx

探究：化简的基本要求是：去掉根号，去掉分母，合并同类项.

说明：化简分式的时候，尽量让分母是单项式.只要坚持化简的基本原则，充分地发展条件，综合法往往直指结论.