发展观点观察n=k到n=k+1的过程中的增量和减量

明确要证问题的结构特征和发展规律，尤其对其中的自变量n和因变量——项数f（n）与通项g（n），一定要认真观察、细致分析、辩证研究.

例7 设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，

Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,….

证明：对所有的正整数n都成立.

探究：

（1）当n=1，左边=1，右==1，故①式成立.

（2）假设当n=k时，①式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=

注意：上式共有2k-1项，中间项为k2.

当n=k+1时，目标等式的左边应该有2（k+1）-1=2k+1项，中间项为（k+1）2，所以目标等式应该是在上式两边都加上（k+1）2+k2，即：

即当n=k+1时①式也成立.

根据（1）和（2）得

说明：当“n=k”到“n=k+1”时，问题可能产生很多变化，我们应该重点关注项数f（n）与通项g（n）的发展规律，“n前进一小步”，项数f（n）与通项g（n）可能“有个大飞跃”.

例8 求证：（n≥2，n为整数）.(https://www.xing528.com)

探究：左边的项数为2n-1.

（1）当n=2时，左边=，右边=，结论正确.

（2）假设n=k时不等式成立，即（k≥2，k为整数），

则n=k+1时，问题便成了：

请注意左边的变化：项数由f（k）=2k变成了f（k+1）=2k+1，项数增加了2k+1-2k=2k.

距离目标还有多远呢？要证明：

只要证明，进而只要证明：，也就是，这显然成立.

所以n=k+1时结论成立，进而原不等式成立.

说明：只有明确了“n=k”到“n=k+1”的变化和联系，才能使得归纳假设的条件得到真正充分正确的利用.

“n=k+1”的证明里面，我们对多出来的那些项进行试探性的放缩，距离目标越来越近了.最后的证明用的是分析法，它使得我们的证明得以进一步简化，有很强的可操作性.所以，数学归纳法需要我们同时使用多种数学方法.这样一来，问题的难度可以在不同的方法之下得到逐步降低.

上述问题的结论告诉我们：正整数的倒数之和，在项数足够多的情况下，可以等于一个任意足够大的数.