数学归纳法：思路明晰，目标明确，自信解决问题

数学归纳法是一种演绎推理方法，它是利用数学归纳定理进行的关于正整数的演绎推理，其结论是科学可靠正确的，但它不是归纳法.归纳法是一种合情推理方法，是由部分到整体、个别到一般的思维方法.它的基础是有限的观察与实践，它是人类认识的一种十分重要而有普遍应用的思维方法.它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要的指导作用，但它可能是不可靠的.

数学归纳法可以证明那些与正整数有关的命题，关键步骤如下：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时结论正确，在此基础上证明当n=k+1时结论也正确.

完成这两个步骤后，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确.

这其实就是一种无限递推思想.其中，（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基；（2）是递推的根据，它使得无限次递推成为可能.所以，数学归纳法的两个步骤缺一不可.

例1 平面上有n个圆，任何两个圆都相交于两点，而且所有的交点都不重合，求证这n个圆将平面分成n2-n+2部分.

证明：（1）当n=1时，命题显然成立.

（2）假设当n=k时命题依然成立，即k个圆将平面分成k2-k+2部分，则n=k+1时，最后的第k+1个圆与前面的k个圆共有2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分成2k段，每一段将对应区域一分为二，于是最后增加的区域数为2k，所以这k+1个圆将平面分成的区域数为k2-k+2+2k.可以验证它与我们的目标（k+1）2-（k+1）+2是相等的，即n=k+1时命题依然正确.

综上所述，对任意正整数n原命题都是正确的.

说明：由此可见，数学归纳法在研究正整数问题时有着天然的优势，我们不必研究整个命题中的所有正整数n，只需关注由n=k到n=k+1的变化即可.把整体的研究转化成其中的个体研究，是认识方法的一次飞跃.

如果画出图形，你的体会会更真切.

例2 复数z=cosθ+isinθ对一切正整数n，证明zn=cosnθ+isinnθ.

证明：（1）当n=1时，命题显然成立.

（2）假设当n=k的时候，命题成立，即zk=coskθ+isinkθ，

则当n=k+1时，zk+1=zk·z=（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）=(www.xing528.com)

coskθcosθ-sinkθsinθ+i(coskθsinθ+sinkθcosθ)=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ，

即n=k+1时命题也成立，因此对一切正整数n，命题成立.

说明：有时候忽视数学归纳法比不会数学归纳法更普遍，只要强化数学归纳法意识，问题可能并不难.

例3 我们知道：正整数的前n项和是n的二次函数，而且无常数项：1+2+3+…+n=.其实，正整数的前n项的平方和立方和也遵循这个规律，它们分别是n的三次函数和四次函数，而且也没有常数项.

探究：（1）n=1时，左边==右边.

（2）假设n=k时命题成立，即

则n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2

此时命题也成立，所以公式对所有的正整数n都成立.

（1）当n=1时，左边=13==右边，原等式成立.

（2）当假设n=k时等式成立，即

则n=k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3=+（k+1）3，即n=k+1时命题成立，

所以公式对所有的正整数n都成立.

说明：数学归纳法在研究正整数问题的时候，思路清晰，目标明确，预见性强.我们在遇到类似问题的时候，应该有足够的自信.

下面沿着四个方向对数学归纳法进行阐述.