如果结论是无限的，那么其对立面肯定是有限的，用反证法会特别方便.
质数的个数到底有多少？2000多年以前，这是一个世界难题，数学家们都在不断地争论着这个问题，莫衷一是，没有人能给出明确的答案.最后，还是古希腊的哲学家、数学家欧几里得，利用反证法给出了终结性的解释.他在他的《几何原本》中有一个经典的极富创造性的证明.
假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，…，pn.
设N=p1×p2×…×pn，那么，N+1不是素数.
因为N+1为合数，而任何一个合数都可以被一个或者几个素数整除，而素数只有p1，p2，…，pn，所以N+1=p1×p2×…×pn+1能被它们整除.请看这是一个多么荒谬的事情.这样一来，矛盾便产生了.
因此，在假设的有限个素数之外还存在着其他素数，所以原先的假设不成立.也就是说，素数有无穷多个.
其他数学家给出了一些不同的证明.但是，欧几里得的证明无疑是最精彩的.这就是反证法的威力！(www.xing528.com)
尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问：“100000以下有多少个素数？”“一个随机的100位数多大可能是素数？”
遗憾的是，到目前为止发现已知的最大素数是257885161-1，有17425170位，是由美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组于2013年1月25日发现的.如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可超过65千米！这是数论研究的一项重大突破.由此可见，数学证明对数学发现起到了无与伦比的指引作用.
总之，用反证法证明问题时，如何经过推理得出矛盾是其中的关键.制造矛盾或寻找矛盾可以在以下几方面着手：新结论与题设之间，新结论与反设之间，新结论与已知真命题之间，新结论与客观事实之间，新结论与中间结论之间.
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”反证法之所以在解决某些特定数学问题的时候，使我们左右逢源，是因为：第一，它比一般证明方法多了一个条件——反证假设；第二，它一般是研究结论的对立面，如果结论的内涵比较复杂，那么反证假设（结论的对立面）的内涵就比较单一了，这样，证明的难度当然会降低；第三，如果结论是否定形式的，证明它没有相关定理资源（我们的数学定理数学常识一般都是肯定语句），而证明它的逆否命题刚好避开了这个大麻烦.当一些问题的条件和结论的顺序刚好与我们正常的研究方法相反的时候，也可以考虑运用反证法.
“正难则反”，反证法恰如其分地体现了这种数学思想.
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