例9 △ABC中，若sinA+cosA＞1，则A必为锐角.
探究：若A不是锐角，则A必为直角或钝角.
A为直角时，sinA+cosA=1，与条件矛盾.
A为钝角时，sinA＜1，cosA＜0，两式相加可得sinA+cosA＜1，也与条件矛盾，
所以假设错误，结论正确.
说明：上述证明也是对该问题的一种理解，其实还可以将条件两边平方得sinAcosA＞0.这样，sinA与cosA同号，再加上A为三角形的内角，A必为锐角.
例10 已知A，B均为锐角，且sin（A+B）=sin2A+sin2B，求证：A+B=90°.
探究：初看起来，该题好像与反证法无关，让我们发展条件.
因为sinAcosB+cosAsinB=sin2A+sin2B，
所以sinA（sinA-cosB）+sinB（sinB-cosA）=0.……①
到这里后，正面“进攻”无法再有进展，很难找到通往结论之路.那么让我们开始反证法吧！
假设A+B≠90°，则A+B＜90°或者A+B＞90°.
（1）若A+B＜90°，则A＜90°-B，B＜90°-A，
sinA＜sin(90°-B)=cosB，sinB＜sin(90°-A)=cosA，
所以sinA-cosB＜0，sinB-cosA＜0，
所以sinA（sinA-cosB）+sinB（sinB-cosA）＜0，与①式矛盾.
（2）若A+B＞90°，
则A＞90°-B，B＞90°-A，
sinA＞sin(90°-B)=cosB，sinB＞sin(90°-A)=cosA，
所以sinA-cosB＞0，sinB-cosA＞0，(www.xing528.com)
所以sinA（sinA-cosB）+sinB（sinB-cosA）＞0，与①式矛盾.
所有情况都能产生矛盾，所以必有A+B=90°.
例11 已知函数f（x）在（-∞，+∞）上递增.求证：若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0.
探究：直接证明有困难，因为我们的习惯是由自变量的信息研究函数值的信息而不是相反.现在问题恰恰如此，所以反证法应该是正常选择.
假设a+b≤0，则a≤-b，b≤-a.
因为函数f（x）在（-∞，+∞）递增，所以f（a）≤f（-b），f（b）≤f（-a）.
两式相加得f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），这与条件f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）产生矛盾.所以原假设不成立，即a+b＞0.
例12 三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，O是三角形ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.
例12图
探究：本题的条件和结论看似没有什么直接关联，直接证明不易奏效，应该考虑反证法.
假设PO不垂直于平面ABC，则过P作底面ABC的垂线，垂足为H，连接HA，HB，HC，因为PA=PB=PC，且PH⊥HA、PH⊥HB、PH⊥HC.由勾股定理可得HA=HB=HC，所以H为△ABC的外心，即H与O重合.这是一个矛盾，所以假设不成立，即PO⊥平面ABC.
说明：该题其实就是同一法，证明重合或者矛盾，道理都是一样的.如果从结论出发容易发展变化，我们往往可以采用反证法.
例13 已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），求证：当n∈N*时，0＜xn+1＜xn.
探究：这是一个与超越函数有关的数列问题，而且是个“逆递推问题”（由函数值的关系推导自变量的关系，而不是相反），比较大小最常用的方法应该是作差法.要证明xn+1＜xn，只要证明xn-xn+1＞0，而xn-xn+1=ln（1+xn+1），所以只要证明xn+1＞0.看看结论就知道，这是一举两得的好事！
由数列的前一项研究数列的后一项，这与我们递推的思维方向刚好相反，而反证法刚好可以“拨乱反正”.那么，可否考虑一下反证法呢？
显然，xn+1＞-1.
假设存在n∈N*，xn+1≤0，则ln（1+xn+1）≤0，所以xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤0.同理可得xn-1≤0，xn-2≤0，…，x1≤0，与x1=1＞0相矛盾.所以xn+1＞0恒成立且ln（1+xn+1）＞0恒成立，所以xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1.
说明：利用反证法，因为是名正言顺，所以证明过程简洁明快.
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