看到右面图片中的比萨斜塔，我们不能不想起伽利略的自由落体实验.古希腊的科学家亚里士多德指出：物体下落的快慢是由物体本身的重量决定的.物体越重，下落得越快；反之，则下落得越慢.亚里士多德的理论影响持续了2000多年.1638年，伽利略在《两种新科学的对话》中写道：
“可以找来两个大小不同的铁球，让它们自由降落，如果亚里士多德是正确的，则大的下落速度快于小的下落速度.”
当两个铁球被绑在一起的时候，下落快的会因为慢的而被拖慢.所以整个体系的下落速度应该介于大球和小球之间.但是，两块绑在一起的铁球整体更重，下落速度也就应该大于原来两个铁球的速度.这就陷入了一个自相矛盾的境界.伽利略由此断言，亚里士多德的理论是错误的，物体下降速度与它的重量无关.
1589年的一天，比萨大学青年数学讲师、年方25岁的伽利略，同他的辩论对手及许多人一道来到比萨斜塔.伽利略登上塔顶，将一个重100磅（1磅=0.4536千克）和一个重1磅的铁球同时抛下.在众目睽睽之下，两个铁球出人意料地同时砸到地面上.面对这个无情的实验，在场观看的人个个目瞪口呆、不知所措.“比萨斜塔试验”成为广为流传的美谈佳话.
伽利略不是第一个质疑亚里士多德的人，但他是第一个对质疑给出合理解释的人.他的逻辑推理其实就是我们本节课要讲的反证法，伽利略的高明之处就在于他既有数学的推理，又有实际的实验.
无独有偶，大数学家毕达哥拉斯，大家一定都很熟悉，而他的弟子希帕索斯——发现无理数的第一人却鲜有人知.毕达哥拉斯学派认为数是最崇高、最神秘的，数学是上帝的杰作.他们所讲的数指的是整数.“数即万物”，也就是说，宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达.但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线（用
表示）却不能用整数之比来表达.
为根号2殉难的希帕索斯
希帕索斯证明了这个数字无法表示为两个整数之比.(www.xing528.com)
假设该数为
，假设q，p是最简分数，即q，p互素（没有大于1的公约数）.
根据勾股定理，
，即2p2=q2.从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，则q=2b（b是自然数），代入2p2=q2中，得p2=2b2.所以，p2是偶数，p也一定是偶数，这与q，p互素矛盾.于是，
不能表示成两个整数之比.
这到底是什么数呢？除了整数和整数比（即分数）外，世上还有别的数吗？带着疑问，希帕索斯找到了他的老师毕达哥拉斯.谁知，看到推翻了“万物皆数”的观点后，毕达哥拉斯非常恼怒和惊慌，担心学生的发现会动摇学派的根基，于是便将希帕索斯囚禁起来，最终残忍地将他沉入大海.这是数学史上的一个悲剧.到目前为止，希帕索斯成了有史以来为科学献身的第一人，也是有史以来第一个使用反证法的人.
证明某个命题时，先假设其结论不成立，然后从这个假设出发，结合其他条件，推出与已知事实相矛盾的结果，从而反过来肯定原命题成立.这种证题方法叫作反证法.其实，反证法就是将原命题的研究转化成了其逆否命题的研究.
如果结论的反面只有一种情况，则只需研究一种情况；如果结论的反面不止一种情况，则要对每一种情况逐个研究.对至多至少型问题的否定一定要多加注意并多多练习.一般来说，否定结论后，问题的内涵应该比较单一、清晰了；如果反设的情况较多但是比较容易研究，也可以考虑反证法.
推出矛盾是反证法的核心目标，作出反设后，要从反设出发，结合题目其他条件以及相应的数学常识，向导出矛盾的方向发展.这里所说的矛盾可以是与已知公理、定理、定义、题设、数学常识矛盾，也可以是自相矛盾.
一般来说，反证法适用的命题类型有以下几类.
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