高中数学思想方法：放缩法与数列问题解决方案

时间：2023-08-08 理论教育版权反馈

【摘要】：2.一般来说，放缩法也应该体现化简的原则.使用均值不等式，一是可以完成放缩，二是能把“无理”数列变成了“有理”的数列.3.放缩的“度”是可以把控的吗？

数列问题的解答，也经常“委托”放缩法，尤其在非常规数列的求和中，放缩法大有用武之地.

与数列求和有关的放缩法，“中间量”的选择要体现三个原则：一是熟面孔，二是便于求和与化简，三是“中间量”要介于不等式两侧之间.

先放缩再求和或先求和再放缩，哪项措施先行，取决于原表达式是否便于求和.一般来说，先求和再放缩，误差可能会小一点，也就是能求和的话尽量先求和，这也体现了化简优先的原则.但是，实际上很多时候，非常规数列不太便于求和，那就只能把它放缩成常规数列后再求和.

例6 函数，求证：

探究：由

说明：此题不等式左边不易求和.此时，可根据不等式右边特征，先把分式分离变量，将分子变为常数（这样一来，不等式的左边会出现n个1，与另一边的n形成呼应），再将分式放缩成便于求和的形式（分母是单项式，与等比数列直接相关），继而求和即可.

若分子、分母同时存在变量时，要把分子配凑成分母的结构，拆分以后分子不再有变量.通常这种“分离变量”也是一种常见的化简方式.

例7 已知an=2n-1（n∈N*）.求证：

探究：因为 pagenumber_ebook=73,pagenumber_book=66

所以

说明：上述过程中，我们逐项缩小.第一个化简举措是分离变量，消去分子中的字母n；第二个举措是把分母变成单项式，形成等比数列的态势，使之便于求和，从而达到证明目的，但是一定要注意到要逐项缩小，就是将减数的分母变小.

上面的两个例题中，我们都是坚持简化数列的原则：分母变成单项式，逐步靠近常见的等差、等比数列.如果能依据题目特征变成常数列，那将是更奇妙的结果.

例8 求证：

探究：左边的项数为n2-n+1，要将其缩小为1，除了两端的两项之外，中间的分母都应该放大为单项式，所以左边＞

说明：这不是偶遇，坚持简化的基本原则，成功便会“顺理成章”.

放缩的过程中，要充分兼顾两边的需要：简化原数列，转化成单项式.这也体现另一边的需求——常数，分母尽量相同.

放缩的过程中，要尽量减少误差.要用最贴近的元素取代原来的元素.数列求和的时候，前几项最好直接计算，不要放缩.因为一般来说，放缩的过程中，前几项的误差最大.

裂项相消法是一种重要的数列求和方法，相关数列的基本特征往往是分子为常数，分母为某一等差数列的连续两项之积.

例9 （1）求证：

（2）求证：

探究：（1）

所以

（2）该题精确度要求高于第一小题，所以可以固定前几项不变，以减少误差.

说明：此题第二问采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，比起第一问，误差大大降低了.放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型区别对待：放得太宽，超过限度，达不到证明目的；放得太窄，不能转化成常规数列，求和过程依然艰难.为此，要真正做到恰到好处：第一要兼顾到不等式两边的特征和需求，第二要积累相关的技巧和经验.

例10 设求证

探究：此数列的通项为

因为，所以

左边不等式的证明已经完成，如果借助于这种经验：

因为，所以Sn＜2+3…+n+（n+1）

但是，显然放得太大了.

可以用均值不等式进行放大，误差可能会小一点.

即(www.xing528.com)

说明：1.应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，误差较小；但是若利用数学常识，就放过“度”了！

2.一般来说，放缩法也应该体现化简的原则.使用均值不等式，一是可以完成放缩，二是能把“无理”数列变成了“有理”的数列.

3.放缩的“度”是可以把控的吗？

根据所证不等式的结构特征来选取所需要的放缩技巧（也包括重要不等式的使用）时，不等式另一边的信息非常重要，它很有可能就是某一个特定数列的前n项和.如果数列的前n项和是确定的，那么由此搞定它的通项公式，进一步确定放缩法的底线和目标也就易如反掌了.例10的结论中，中间是目标数列的前n项和，它的左、右两边肯定也是某两个数列的前n项和，其对应的通项公式便是我们放缩的目标.心中有目标，按图索骥总是容易得多.

因为看左边前n项和，所以通项公式bn=n，放缩方法：