作差法可以简化运算过程，缩短思维链的长度

作差法可以“自动”清理那些干扰信息，合并那些相近和相似的信息，将多个信息结合起来一并考察.所有这些，都为简化运算铺平了道路.

例4 （1）椭圆方程为，直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点M（1，1），求直线l的方程.

（2）椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的中垂线交x轴于点P（x0，0），证明：

探究：圆锥曲线的问题中，如果涉及某条弦的中点和斜率等多种信息的，往往运用“点差法”.

（1）因为AB中点（1，1）在椭圆内，

所以直线与椭圆必有两个交点A、B.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则：

例4（1）图

两式相减得

由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，

所以

所以，即

直线AB的方程为，即

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则：

例4（2）图

两式相减得：

所以，所以

设AB斜率为k，所以，所以AB中垂线斜率为AB中点(www.xing528.com)

所以AB中垂线方程为

令y=0，则

因为-2≤x1≤2，-2≤x2≤2，而且左右两边都不能同时取等号，

所以

当x1+x2=0时，容易验证结论也正确.

综上所述，本题结论正确.

说明：解析几何中，涉及弦的中点、斜率等问题时，一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程组，然后利用韦达定理来搞定，计算过程耗时费力，而且容易出错.在本题中采用“点差法”（将曲线上两点的坐标代入其方程后作差）求解，可以有效地避开了那些“大块代入”，而且因为结合了中点坐标公式，从而出现了整齐对称的结构特征，问题的探究过程变得异常清爽.

例5 已知an=（2n-1）3n-1，求{an}的前n项和.

探究：观察数列{an}通项公式的结构不难发现，它是2n-1与3n-1乘积形式，二者对应的分别是等差数列与等比数列的通项.

面对这种“阶梯形的结构”，我们不能对每一项都加上那个等差数列的公差，但是可以对每一项都乘以那个等比数列的公比.这样一来，两个等式错位相减也就势在必行了.

制造一个新的等式，与原等式作差，很好地利用了这种“阶梯形结构”，完成了化繁为简的任务，最后利用等比数列的求和公式将问题解决.整个过程，转化是关键.

Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-3)·3n-2+(2n-1)·3n-1.

两边同乘以3得：

3Sn=1·31+3·32+5·33+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n.

同类项对齐后两式相减得：

所以Sn=1+（n-1）·3n.

说明：化简是硬道理.一般来说，作差以后会有大量的元素被消去，这就能大大地简化运算，上述的错位相减法就很好地说明了这一点.