力求把方程标准化，转化成我们熟悉的结构.
研究方程组的中心思想只有一个：消元.但是，消元的方法很多，有加减消元法、代入消元法、平方相加消元法、整体代换消元法等.
对于那些非常规的方程或方程组，都应该将其进行转化，通过合并、有序排列、去分母、去根号、去绝对值号等措施，促使方程组向简单、明确的方向转化.
当然，如果不解方程组，通过研究方程组与结论之间的关系直接将其转化成答案，那更是上上之策.
例10 已知圆C的圆心在y轴上，截直线3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线3x-4y+37=0相切，求圆C的方程.
探究：显然，该题还是待定系数法，圆心坐标是核心元素.
假设圆心C（0，b），半径为r.
圆C截直线3x+4y+3=0所得弦长为8，弦心距
由勾股定理，得：
圆C与直线3x-4y+37=0相切，所以
联立①②得
粗看起来，这个方程好像有些繁杂，但是如果你仔细观察它的结构特征不难发现，运用平方差公式进行化简可能是最佳选择.
上述方程可化为
这是一个一元一次方程，利用“平方差公式”，易得b=3、r=5，
所求圆的方程为x2+（y-3）2=25.
说明：在解方程的过程中，越是那种大块代入的复杂结构，我们越要细致观察其结构特点，力求从中发现规律性的、可以简化运算的“阳光地带”，对其稍加开发，在保护它的“原生态”特点的同时，优化它的结构特征，成功往往就在眼前.所以研究此类问题，整体观点和耐心细致的心理品质是很重要的，自觉地进行这方面的训练也是高层次学习的重要方式.
例11 一种自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废.某自行车的前后轮胎都是同一种配置.为了使轮胎利用率最高，最终行驶路程最长，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.那么这辆车最多能行驶多远.
探究：显然，为了使行驶路程最长，交换轮胎后最后两个轮胎同时报废，这样它们的总路程相等.
假设交换轮胎前的路程为xkm，交换轮胎后的路程为ykm.
考察开始阶段的前轮A：它在前半程里当前轮使用，耗尽了其生命的
；它在后半程里当后轮使用，耗尽了其生命的
，然后报废，走到了生命的尽头.
所以
，即3x+5y=15000.……①
同理，对于开始阶段的后轮B有：
，即5x+3y=15000.……②
按照常规，联立方程组可以分别求出x、y的值，但是观察上述方程的结构特征，兼顾结论（x+y）的需要，我们可以有更好的选择：
①+②可得8x+8y=30000，所以总路程x+y=3750km.
其实，进一步的计算①-②可得x=y，也就是前半程和后半程相等，均为1875km.
说明：本题通过引进字母（待定系数），通过对前后轮的全程分析，采用拟人的语言，人性化地得到两个方程，这符合应用题的基本解法特征.但是在解方程组的时候，我们通过对条件、结论的对比观察，兼顾方程组与结论的相似性，有时会发现更加简洁的通道而直达目标.
例12 二次函数f（x）满足：f（-1）=0，且对所有实数x，不等式x≤
恒成立.
（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的表达式.(www.xing528.com)
探究：本题的主要条件是不等式组，由此得到函数的表达式，由系数的范围得到系数的值，从而将不等式问题转化成等式问题，所以条件结构的观察和发展至关重要.
（1）由
恒成立，可以强行突破至f（1），只能对其赋值x=1.此时1≤f（1）≤1，所以f（1）=1.（问题如此巧妙，我们只能相信这是上天的安排）
（2）求二次函数的表达式，又是待定系数法的分内之事.
假设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（-1）=0和f（1）=1可得：
a-b+c=0，a+b+c=1.
把a看成常数，两式相加和相减可得
所以
由
恒成立，即
恒成立，可得
，所以
又是巧遇完全平方式！
可以验证，此时恰有
恒成立，
所以
说明：充分发展条件，让消元成为一种习惯，解方程组便会少了一些选择的烦恼.在研究不等式组的过程中，不忘待定系数法，力求将不等式问题转化成方程问题，这是该题中列方程、解方程的自觉行为.
例13 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为
.求该圆的方程.
探究：最自然的想法还是待定系数法，不过画出图形可能会更明了.
如图，设圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.设圆与y轴的两个交点为A，B，圆与x轴的两个交点为C，D.
因为圆P被x轴分成两段弧长的比为3∶1，所以圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°.在等腰直角△PCD中，易得弦长
，故r2=2b2.
例13图
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以在等腰△PAB中，由弦长为2、弦心距为|a|，可得r2=a2+1，从而得2b2-a2=1.……①
又点P（a，b）到直线x-2y=0的距离为
，即a-2b=±1.
将a-2b=1与①联立易得b2+2b+1=0（完全平方式！），
所以a=b=-1，此时
同样，将a-2b=-1与①联立易得a=b=1，此时
于是，所求圆的方程是（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2.
说明：本题通过数形结合，利用圆与坐标轴交成的两条弦，结合弦心距的直角三角形构建方程组，这是解决圆的方程问题的常规方法.但是，在研究最后一个方程的时候意外发生了：
即|a-2b|=1.
如何将这个非常规的绝对值方程与另外两个方程联合起来求出a，b，r的值成了本题的关键.去绝对值有两种方法：分类讨论和两边平方.展望一下，后者难度较大，所以我们选择了分类讨论去掉绝对值符号的方法，结果问题的进展比预期的还顺利.
总之，待定系数法在研究某些结论固定、形式明确、条件中等量关系充足的问题时往往能发挥决定性的作用.我们需要把控好“设”“列”“解”“答”这四个环节里面的基本原则，充分地发展条件，完备地转化结论，把整个问题置于相对稳定的方程系统之内.在此基础上，我们还需要看清问题的全貌，进一步明确问题的整体研究方向.另外，消元意识、方程思想及运算能力是数学的核心能力，需要我们在问题研究中不断地进行锻炼和总结.
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