如何确定待定形式及高中数学思想方法

依据题意确定待定系数，选择一种合乎题意、明确、简练的待定形式，不仅仅能明确解题的总体思路，而且可能大大地简化运算.这就需要我们深刻理解相关问题的知识和基本方法.在平时的学习和探究当中，要注重积累、反思和总结.

例6 （1）椭圆经过两点，求其标准方程；

（2）双曲线经过两点，求其标准方程；

（3）双曲线经过点，其渐近线方程为y=±2x，求其方程；

（4）抛物线的焦点在x轴上，直线l：y=x-1交其于A、B两点，线段AB的长度为8，求抛物线的标准方程.

探究：（1）椭圆的标准方程有两种，都不算太简单，我们可否分类讨论一下呢？其复杂性可想而知.但是通过对两种标准方程的比较分析可以发现，将二者整合成一个通式mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且m≠n），则待定形式会变得简洁明快，其中待定系数部分没有分母且为一次的.

将P，Q两点坐标代入，可得

（2）和上面的问题一样，双曲线的标准方程也可以整合为一种特别简洁的通式mx2+ny2=1（mn＜0）.

将P，Q两点坐标代入，可得

（3）双曲线的渐近线方程为y=±2x，其方程的待定形式也不太确定，其焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以有必要把方程的待定形式整合为一种形式4x2-y2=λ（λ≠0），代入P点坐标，即得所求曲线方程4x2-y2=1.(https://www.xing528.com)

（4）焦点在x轴上的抛物线，开口方向可能向右也可能向左，但是其标准方程可以整合为一个通式y2=ax（a≠0）.

将y=x-1代入可得x2-（a+2）x+1=0.

因为Δ=（a+2）2-4=a2+4a＞0，

所以a＜-4或a＞0.

假设两个交点A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=a+2，x1x2=1，

，所以a=4或-8，

所以所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-8x.

说明：上述四个问题的共同特征是避开分类讨论，把目标问题的待定形式集中整合为一种统一的模式.这当然需要我们熟练掌握相关的知识，具备一定的洞察力，超前预测，防“繁”于未然.