高中数学：三角换元的应用材料

我们可以利用已知代数式与三角知识的相似性、相关性进行换元.当问题中出现根号、平方和或者与旋转有关的信息时，将其变换为三角形式，一般来说，问题会得到合理的简化而容易求解.

在使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于将问题标准化的原则.换元后要关注新变量范围的变化，一定要使新变量的取值范围与原变量的取值范围对应.一般来说，变量的范围越小越好.

例7 （1）已知椭圆方程为，求椭圆的内接矩形的最大面积.

（2）椭圆方程为，求椭圆上的点到直线3x+4y-25=0的最短距离.

探究：（1）在椭圆内接矩形ABCD中，设

内接矩形的面积S=4（4sinθ）（3cosθ）=24sin2θ，

所以当时，内接矩形的面积最大，最大值为24.

说明：本题也可以设A（x，y），依据椭圆方程，利用均值不等式或者二次函数求解.

（2）设椭圆上的动点P（4cosθ，3sinθ），点P到直线3x+4y-25=0的距离：

说明：这样一来，问题就很简单了.利用椭圆的参数方程，三角换元减少了变量的个数，简化问题便是十分自然的事情了.

例8 求函数最大值和最小值.

探究：考虑到函数的定义域和根式特征，可设x=cosθ（0≤θ≤π），

则

所以，当时，f（x）有最大值为(www.xing528.com)

当时，f（x）有最小值为

说明：本题还可以利用均值不等式求得函数的最大值，但是无法得到函数的最小值，除非利用函数的奇偶性（这是一个奇函数，其最大值和最小值应该是一对相反数）.

在变换x=cosθ（0≤θ≤π）中，范围的设定非常有预见性，体现了兼顾的原则.一般的根号在开方后应该带上绝对值符号，而这个范围的约定，既可以去掉根号，又使得开方后没有绝对值符号，一举两得.三角问题的一个基本原则是角的范围越小越好.

例9 设a，b，x，y是实数，a2+b2=1，x2+y2=4，求ax+by的最大值、最小值.

探究：字母个数太多，可以使用三角换元法，完成消元的任务.

由题意可设a=cosα，b=sinα，x=2cosβ，y=2sinβ，

所以ax+by=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β），

所以ax+by的最大值为2，最小值为-2.

说明：该题的一个重要考查点是均值不等式，但是有两种方法.请你鉴别一下，同时注意配凑的技巧.

解法1：

解法2：

使用均值不等式，不仅仅要配凑出常数，而且要兼顾等号成立的条件，操作上要灵活把握.从这点上来看，函数方法更有优势.一般来说，均值不等式只能求得最大值、最小值之一.从这个意义上来看，它的作用不如函数方法，而换元法恰恰体现了函数思想.