高中数学：换元法体现转化思想，标准化解决非常规问题

例4 解方程

探究：设y=x2+x，则原式可化为（问题的结构简洁了很多），即y2-3y+2=0，解得y1=1或y2=2，所以x2+x=1或x2+x=2，即x2+x-1=0或x2+x-2=0，解得或或x3=1或x4=-2.

说明：该题的结构比较复杂，使用换元法大大降低了我们的畏难情绪，问题变成了我们熟悉的标准形态——一元二次方程.要注意换元之后勿忘将问题“还原”.

越是结构复杂的问题，越应该对其进行整体特征的观察，进而抓住那些高频次出现的整体结构进行换元.

该题还可以设计成不等式问题，解决方法依然是换元法.

例5 函数的最大值为9，求a的值.

探究：令，则x=2-m2.

原函数可化为y=-m2+2am+7-a，其图象的对称轴为直线m=a，开口向下.

若a≤0，则m=0时y最大，最大值为7-a，即7-a=9，解得a=-2；

若a＞0，则m=a时y最大，最大值为a2-a+7，即a2-a+7=9，解得a=-1（舍）或a=2.

综上所述，a=-2或a=2.(www.xing528.com)

说明：去根号、去分母等等都是必要的化简措施，将问题标准化，转化成我们熟悉的二次函数问题.在这些方面，换元法大有可为.

例6 f（x）=sin4x+cos4x+asinxcosx，若函数没有零点，求a的取值范围.

探究：首先应该把函数表达式进行化简，化简的主要标志是降幂和标准化为常规函数.

令t=sin2x（-1≤t≤1），则

则f（x）没有零点等价于函数g（t）恒大于0或者恒小于0.

t=0时，函数g（t）的图象过定点（0，1），所以函数g（t）恒大于0，函数g（t）的图象是一条开口向下的抛物线段.

结合函数g（t）的图象可知，问题等价于抛物线段的两个端点都在x轴上方，即：

，解得a的取值范围是（-1，1）.

说明：通过换元法，当函数变成二次函数以后，结合图象，数形结合，在图象的变化过程中，不难发现通往结论的方向.