高中数学思想方法：配方法的新发展点

很多问题，当你一筹莫展的时候，求变几乎成为一种必然选项.那么，换个角度会怎样？一旦完成配方，问题的结构特点将变得更加明显.新的问题情境，一定会激发起你的数学冲动和换位思考.

例6 已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，判断△ABC的形状并证明.

探究：只要问题中出现二次三项式的类似结构，配方法往往是一种最合理的研究选项.

由a2+b2+c2=ab+bc+ca可得2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，

移项可得2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，所以a=b=c，△ABC为等边三角形.

说明：让交叉项的系数为2，更容易凑成完全平方式.

例7 求函数的最小正周期、最大值和最小值.

探究：化简是该题的基本方向，降幂去分母应该是其主要方式，配方就是降幂的好办法.

至此问题迎刃而解，最终答案你自己写出来呗！

例8 已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求a的取值范围.

探究：“求a的取值范围”，考虑到结论的需要，往往需要得到关于a的不等式（组）.两个条件结合起来，尽最大努力消去b，c，得到关于a的不等式，利用均值不等式可能是解题的重要选项.配方法可能大有用武之地.

b+c=-a，所以第二条件可化为：

a2+（b+c）2=1+2bc，所以

所以，从而（当且仅当b=c时取等号，此时结合两个条件可得

说明：请看，用配方法解该题，将两个条件和一个结论完美地结合在了一起，漂亮！求某个元素的取值范围，往往需要确定它受到的约束，构建不等式（组）.

例9 α，β∈[0，2π），2cosαcosβ+cos2α+=0，这样的α，β存在吗？如果不存在或者答案有无数组，请说明理由；如果答案是有限的，请给出答案.

探究：在前面的例题2里面就有类似的问题.自由度的观点告诉我们，如果未知数的个数多于方程的个数，那么该问题往往是不确定的，除非是一种极端情况，比如方程x2+y2=0只有一组解x=y=0.

cos2α=2cos2α-1，出现了这种结构，配方法便成为我们试探的首选.

原条件可化为

配方可得

所以(www.xing528.com)

这是我们期待已久的结论！

接下来的问题就很简单了.

容易得到β=0时，或；β=π时，或

说明：配方往往是神来之笔！它给我们打开了一个全新的思考空间.

还记得本节开始的那道竞赛题吗？我们现在应该有相当的自信完成它.

例10 求所有k的值，使得关于x的方程2x2-2（k-5）x-3k+31=0的根皆为整数.

探究：首先是否应该用韦达定理发展一下从而取得一点阶段性成果呢？把能做的事情做好，是做出一道难题的必要条件.

设原方程的两根为x1，x2，则：

由于方程的根为整数，所以k不仅为整数，而且还是奇数.

由求根公式得

当我们面对一个复杂结构的时候，耐心分析其结构特征、全力从中发现规律是唯一正确的选择.

方程的根为整数，被开方数必须为正整数.

面对k2-4k-37，我们只能委托配方法.

k2-4k-37=（k-2）2-41=n2（引进新字母，构建等式常常是一种发展方向）.

让我们继续求变.

移项可得（k-2）2-n2=41，所以（k-2-n）（k-2+n）=41——质数，

所以，两式相加可得k=23或-19.

说明：变，就会带来新发现.“发展是硬道理.”坚持配方法，引进字母，建立方程，这样一来，走向成功的概率会大大增加.

本节的理论和问题充分说明：配方法不仅可以简化运算，而且会给我们开辟新的思考空间.很多类似二次三项式的问题，如果合理地使用配方法，问题的解决几乎会成为一种必然！