考点一 含绝对值不等式的解法
【例1】解析 法一 如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然,区间[-2,1]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1,此时A1A+A1B=1+4=5.把点B向右移动一个单位到点B1,此时B1A+B1B=5,故原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).
考点二 含参数的绝对值不等式问题
【例2】解析 法一 因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1),B(3)距离的差,即|x+1|-|x-3|=PA-PB.
由绝对值的几何意义知,PA-PB的最大值为AB=4,最小值为-AB=-4,
即-4≤|x+1|-|x-3|≤4.
(1)若不等式有解,a只要比|x+1|-|x-3|的最大值小即可,故a＜4.
(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,只要a比|x+1|-|x-3|的最小值还小,即a＜-4.
(3)若不等式的解集为∅,a只要不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可,即a≥4.
法二 由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4.
|x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4.
可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(www.xing528.com)
(1)若不等式有解,则a＜4;
(2)若不等式的解集为R,则a＜-4;
(3)若不等式解集为∅,则a≥4.
【训练2】解析 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3,或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
考点三 含绝对值的不等式的应用
【例3】解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)＜g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
绝对值三角不等式的应用
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