数学归纳法及应用-文考帮：数学（理科）

考点一　用数学归纳法证明等式

【例1】审题路线　(1)代入等差、等比数列的通项公式求an,bn;(2)注意到所证结论是关于“n”的命题,可运用数学归纳法证明.

(1)解析　由a1=2,公差d=3,

故an=a1+(n-1)d=3n-1.

在等比数列{bn}中,公比q=2,首项b1=2,

故bn=2·2n-1=2n.

(2)证明　①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立;

②假设当n=k时等式成立,

即Tk+12=-2ak+10bk,

当n=k+1时,

Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1

=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)

=ak+1b1+qTk

=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)

=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24

=-2ak+1+10bk+1-12,

即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.

因此n=k+1时等式也成立.

由①、②可知,对任意n∈N∗,Tn+12=-2an+10bn成立.

【训练】证明　(1)当n=1时,等式左边=2,右边=21·1=2,故等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N∗)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1).(www.xing528.com)

当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)(2k+2)

=2·(k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)·(2k+1)

=2·2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1)

=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1).

这就是说当n=k+1时,等式成立.

根据(1)、(2)知,对n∈N∗,原等式成立.

考点二　用数学归纳法证明不等式

考点三　归纳—猜想—证明

基础过关题

一、选择题

1.解析　左边的指数从0开始,依次加1,直到n+2,所以当n=1时,应加到23,故选D.

答案　D

2.解析　选项A,B的答案与题设中不等号方向不同,故A,B错;选项C中,应该是k≥3时,均有f(k)≥k2成立;选项D符合题意.

答案　D

3.解析　由条件知,当n=k时,等式1+2+22+…+2k-1=2k-1,故当n=k+1时,等式1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1.

答案　D

能力提高题

直通高考

1.D　2.A　3.A