随机事件概率-文考帮Math:测试题·解析

考点一　事件的关系与运算

【例1】解析　根据互斥与对立的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=ϕ,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.

答案　D

考点二　随机事件的概率与频率

【例2】解析　(1)在所给数据中,进超市顾客人数为1100的有3个,为1600的有7个,为1900的有3个,为2200的有2个.故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为

同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.

(2)由以上计算可知,各年男婴出生的频率为0.51～0.53,所以该市男婴出生的概率约为0.52.

考点三　互斥事件、对立事件的概率

【例3】审题路线　(1)分别求等候人数为0人、1人、2人的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可求.

(2)思路一:分别求等候人数为3人、4人、5人及5人以上的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可得.

思路二:转化为求其对立事件的概率⇒根据P(A)=可求.

解析　记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一　记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二　记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.

创新突破——全面突破概率与其他知识的综合问题

【典例】突破1:购进130t农产品是全部售出还是有剩余,是解题的关键;

突破2:T为X的函数是分段函数;

突破3:由函数求得利润T不少于57000元时的X的范围;

突破4:根据直方图估计概率;

突破5:找出所有的T的取值,列出分布列,求出数学期望.

解析　(1)当X∈[100,130)时,

T=500X-300(130-X)=800X-39000.

当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.

(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

所以E(T)=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.

基础过关题

一、选择题

1.解析　随着n的增大,频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关系.

答案　D

2.解析　对于A中的两个事件不互斥,对于B中两个事件互斥且对立,对于C中两个事件不互斥,对于D中的两个互斥而不对立.

答案　D

3.解析　由题意知该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.(www.xing528.com)

答案　B

4.解析　从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件;所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”,有1个基本事件,所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是.

答案　D

5.解析　由频率分布直方图可知,一等品的频率为0.06×5=0.3,三等品的频率为0.02×5+0.03×5=0.25,所以二等品的频率为1-(0.3+0.25)=0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45.

答案　D二、填空题

6.解析　因为事件A与事件B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=.

答案　

8.解析　记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C.则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.

答案　0.96

三、解答题

9.解析　从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,则事件A,B,C,D彼此互斥,所以有

(2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列为

X的数学期望E(X)=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.

能力提高题

一、选择题

1.解析　由题意可知2016年空气质量达到良或优的概率为.

答案　A

2.解析　至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.

答案　A

二、填空题

3.解析　由题图可知,参加本次竞赛的人数为4+6+8+7+5+2=32;90分以上的人数为7+5+2=14,所以获奖的频率为=0.4375,即本次竞赛获奖的概率大约是0.4375.

答案　32　0.4375

三、解答题

4.解析　(1)由已知共调查了100人,其中40min内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

故用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为

(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40min内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50min内赶到火车站.

由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,

P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)＞P(A2),故甲应选择L1;

同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

P(B2)＞P(B1),

故乙应选择L2.