数学计数原理解析及测试题答案

考点一　分类加法计数原理

【例1】解析　由于a,b∈{-1,0,1,2}.

(1)当a=0时,有为实根,则b=-1,0,1,2有4种可能;

(2)当a≠0时,则方程有实根,

故Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.(∗)

①当a=-1时,满足(∗)式的b=-1,0,1,2有4种.

②当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能.

③当a=2时,b=-1,0,有2种可能.

故由分类加法计数原理,有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个).

答案　B

【训练1】解析　赠送一本画册,3本集邮册,需从4人中选取一人赠送画册,其余送邮册,有种方法.

赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人送画册,其余2人送邮册,有种方法.

由分类加法计数原理,不同的赠送方法有(种).

答案　B

考点二　分步乘法计数原理

【例2】解析　先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有种不同排法.再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有·2·1=12(种)不同的排列方法.

答案　A

【训练2】解析　因为只有3种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色.故有3×2×1=6种涂色方案.

答案　C

考点三　两个计数原理的综合应用

【例3】审题路线　由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解.

解析　按区域1与3是否同色分类;

(1)区域1与3同色;先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有种方法.

故区域1与3涂同色,共有=24种方法.

(2)区域1与3不同色:先涂区域1与3有种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法.

故这时共有×2×1×3=72种方法,

故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24+72=96.

答案　96

【训练3】解析　若a2=2,则“凸数”为120与121,共1×2=2个.若a2=3,则“凸数”有2×3=6个.若a2=4,满足条件的“凸数”有3×4=12个,…,若a2=9,满足条件的“凸数”有8×9=72个.故所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).

答案　A

基础过关题

一、选择题

1.解析　按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二位号码有3种选法,其余三位号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).

答案　D

2.解析　分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有=2种选派方法;

第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有=6种选派方法.

由分步乘法计数原理,不同选派方案共有2×6=12(种).

答案　A

3.解析　第一步先排甲,共有种不同的排法;第二步再排其他人,共有种不同的排法.因此不同的演讲次序共有·=480(种).

答案　C

4.解析　以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;(www.xing528.com)

以2为首项的等比数列为2,4,8;

以4为首项的等比数列为4,6,9;

把这四个数列顺序颠倒,又得到4个数列,

故所求的数列共有2(2+1+1)=8(个).

答案　D

5.解析　当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个).

当x≠2时,由P⊆Q,故x=y.

故x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14(个).

答案　B

二、填空题

6.解析　第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法.

第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.

由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有3×4×3=36(种).

答案　3

7.解析　把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32个;

第二类,有两条公共边的三角形共有8个.

由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).

答案　40

8.解析　小组赛共有场比赛;半决赛和决赛共有2+2=4场比赛;根据分类加法计数原理共有+4=16(场)比赛.

答案　16

三、解答题

9.解析　(1)幸运之星在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20=17400种.

(2)幸运之星在乙箱中抽取,有20×19×30=11400种.

共有不同结果17400+11400=28800(种).

能力提高题

一、选择题

1.解析　可依次种A,B,C,D四块.当C与A种同一种花时,有4×3×1×3=36种种法;当C与A所种花不同时,有4×3×2×2=48种种法.

由分类加法计数原理,不同的种法总数为36+48=84(种).

答案　B

2.解析　若4个位置的数字都不同的信息个数为1;若恰有3个位置的数字不同的信息个数为;若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为.

由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为1++=11(个).

答案　B

二、填空题

3.解析　4个焊点共有24种情况,其中使线路通的情况有:1、4都通,2和3至少有一个通时线路才通共有3种可能.故不通的情况有24-3=13(种)可能.

答案　13

三、解答题

4.解析　(1)分四步:第1步涂A有6种不同的方法,第2步涂B有5种不同的方法,第3步涂C有4种不同的方法,第4步涂D有4种不同的方法.

根据分步乘法计数原理,共有6×5×4×4=480种不同的方法.

(2)由题意,得n(n-1)(n-2)(n-3)=120,注意到n∈N∗,可得n=5.