样本估计总体，详解及答案解析

考点一　频率分布直方图的应用

【例1】审题路线　由频率分布表可以计算出m,n,M,N的值⇒作频率分布直方图⇒利用频率分布直方图求值.

解析　(1)由题意,落在区间165.5～169.5内数据频数m=50-(8+6+14+10+8)=4,频率为n=0.08,总频率N=1.00.

(2)频率分布直方图如下图所示:

(3)该所学校高一女生身高为149.5～165.5cm的比例为0.12+0.28+0.20+0.16=0.76,则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76=342(人).

【训练】解析　第一、第二小组的频率分别是0.1,0.2,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为m,则=0.3,m=50.

答案　B

考点二　茎叶图的应用

【例2】解析　(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为,

考点三　样本的数字特征

【例3】解析　(1)由图像可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.

易错辨析——统计图表识图不准致误

【典例】解析　该班学生视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4,故能报A专业的人数为0.4×50=20.

[答案]　20

【自主体验】解析　从频率分布直方图可以看出:分数大于或等于60分的频率为(0.030+0.025+0.015+0.010)×10=0.8,故频数为600×0.8=480.

答案　B

基础过关题

一、选择题

1.解析　对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差,但众数、中位数、平均数都发生改变.

答案　D

2.解析　由频率分布直方图的性质,可设中间一组的频率为x,则x+4x=1,

(2)分数在[80,90]之间的频数为25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10=0.016.

10.解析　由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,第八组的频率是0.008×5=0.04,所以第六、七组的频率和是1-0.82-0.04=0.14,所以第八组的人数为50×0.04=2,第六、七组的总人数为50×0.14=7.(www.xing528.com)

由已知得x+m=7,m-x=2-m,解得x=4,m=3,所以y=0.08,n=0.06,z=0.016,p=0.012.

补充完成频率分布直方图如图所示.

能力提高题

一、选择题

1.解析　由频率分布直方图可知,年龄在[20,25)的频率为0.01×5=0.05,[25,30)的频率为0.07×5=0.35,又年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的频率成等差数列分布,所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.

答案　C

又因m甲=20,m乙=29,故m甲＜m乙.

答案　B

二、填空题

3.解析　不妨设x1≤x2≤x3≤x4,由中位数及平均数均为2,得x1+x4=x2+x3=4,故这4个数只可能为1,1,3,3或1,2,2,3或2,2,2,2,由标准差为1可得这4个数只能为1,1,3,3.

答案　1,1,3,3

三、解答题

4.解析　(1)分数在[120,130)内的频率为

1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.

(2)估计平均分为

=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.

(3)由题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人).

[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人).

因用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,故需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n;

在[120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a,b,c,d;设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A,则基本事件共有(m,n),(m,a),…,(m,d),(n,a),…,(n,d),(a,b),…,(c,d)共15种.

则事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共9种.

故P(A)=.