数学理科题解：空间点、直线、平面的位置关系

考点一　平面的基本性质及其应用

【例1】解析　(1)①正确,可以用反证法证明;②从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.

(2)如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面的部分外形.

同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.

故截面为六边形PQFGRE.

答案　(1)B　(2)D

考点二　空间两条直线的位置关系

【例2】

解析　把正四面体的平面展开图还原.如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.

答案　②③④

【训练1】解析　图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以在图②④中GH与MN异面.

答案　②④

考点三　异面直线所成的角

【例3】审题路线　(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积.

(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值.

解　(1)在四棱锥P-ABCD中,

因PO⊥面ABCD,

故∠PBO是PB与面ABCD所成的角,即∠PBO=60°.

因BO=AB·sin30°=1,

因PO⊥OB,故PO=BO·tan60°=.

因底面菱形的面积.

【训练2】

解析　如图,连接B1D1,D1C,B1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线,所以EF∥B1D1.

又A1B∥D1C,所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D1C所成的角.

思想方法——构造模型判断空间线面的位置关系

【典例】

[解析]　在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以选项A、B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以选项C错误.

[答案]　D

【自主体验】1.解析　本题可借助特殊图形求解,画一个正方体作为模型(如图).设底面ABCD为α,侧面A1ADD1为β.

①当A1B1=m,B1C1=n时,显然选项A不正确;

②当B1C1=m时,显然选项D不正确;(www.xing528.com)

③当B1C1=m时,显然选项B不正确.故选C.

答案　C

2.解析　本题可借助特殊图形求解.画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为α.

①当A1B1=m,B1C1=n,显然符合①的条件,但结论不成立;

②当A1A=m,AC=n,显然符合②的条件,但结论不成立;

③与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直,但任何两个都不平行;

④由面面垂直的判定定理可知,④是正确的.

只有④正确,故选A.

答案　A

基础过关题

一、选择题

1.解析　依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.

答案　D

2.

解析　如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.

答案　A

3.

解析　当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,①错;a∩β=P时,②错;

如图,因a∥b,P∈b,故P∉a,故由直线a与点P确定唯一平面α,

又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,

故β与α重合,故b⊂α,故③正确;

两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.

答案　D

4.解析　有2条:A1B和A1C1.

答案　B

二、填空题

5.解析　如图所示,与AB异面的直线有B1C1,CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有不同的位置,且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线=24(对).

答案　24

6.解析　A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B中,但C∉平面AD1C1B,因此直线AM与CC1是异面直线,同理AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线,①②错,④正确;M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,但N∉平面MBB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确.

答案　③④