导数应用：函数研究成果

考点一　利用导数研究函数的单调性

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

考点二　利用导数研究函数的极值

【例2】审题路线　(1)由f′(1)=0⇒求a的值.

(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导,并求f′(x)=0⇒判断根左右f′(x)的符号⇒确定极值.

当x∈(0,1)时,f′(x)＜0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0.

故f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.

故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,f(x)无极大值.

【训练2】解析　(1)f′(x)=3x2+2ax+b.又1和-1是函数f(x)的两个极值点,

由表知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.

由题设条件知,16+c=28,解得c=12,

此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.

解得,a=0,b=-3.

(2)由(1)知,f(x)=x3-3x,g′(x)=x3-3x+2.

由g′(x)=0,得(x-1)2(x+2)=0.

故g′(x)=0的根为x=-2或1.

当x＜-2时,g′(x)＜0;当-2＜x＜1时,g′(x)＞0.

故x=-2是函数g(x)的极小值点.

当-2＜x＜1或x＞1时,g′(x)＞0,故1不是g(x)的极值点.

所以g(x)的极小值点为-2,无极大值点.

考点三　利用导数求函数的最值

当0＜x＜1时,g′(x)＞0;当x＞1时,g′(x)＜0.

所以g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.

故g(x)的最大值为g(1)=0,g(x)没有最小值.(www.xing528.com)

基础过关题

一、选择题

1.解析　由y=f′(x)的图像知,y=f(x)的图像为增函数,且在区间(-1,0)上的增长速度越来越快,而在区间(0,1)上的增长速度越来越慢.

答案　B

2.解析　f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或2.

故f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数.

故f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.

答案　C

3.解析　由(x-a)f′(x)≥0知,当x＞a时,f′(x)≥0;当x＜a时,f′(x)≤0.当x=a时,函数f(x)取得最小值,则f(x)≥f(a).

答案　A

4.解析　若c=0,则有f(0)=0,所以A正确.函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x+m)3+n(x+m)+h的形式,通过平移函数图像,函数的解析式可以化为y=x3+nx的形式,这是一个奇函数,其图像关于坐标原点对称,故函数f(x)的图像是中心对称图形,所以B正确;由三次函数的图像可知,若x0是f(x)的极小值点,则极大值点在x0的左侧,所以函数在区间(-∞,x0)单调递减是错误的,故D正确.

答案　C

5.解析　A错,因为极大值未必是最大值;B错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点;C错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点;D正确,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.

答案　D

二、填空题

令f′(x)=0,解得x=1或-1(舍去).

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:

所以函数y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞).

令f′(x)=0,解得x=2或3.

当0＜x＜2或x＞3时,f′(x)＞0,

故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;

当2＜x＜3时,f′(x)＜0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f(2)+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.

能力提高题