函数与方程：解析题，零点个数为3

考点一　函数零点的求解与判断

【例1】解析　(1)令f(x)=lnx+x-4,

则f(1)=-3＜0,f(2)=ln2-2＜0,

f(3)=ln3-1＞0,

故x0∈(2,3).

(2)当x＞0时,令g(x)=lnx,h(x)=x2-2x.

画出g(x)与h(x)的图像如图:

故当x＞0时,f(x)有2个零点.

当x≤0时,由4x+1=0,得x=-.

综上,函数f(x)的零点个数为3.

答案　(1)C　(2)3

【训练1】解析　(1)因为f′(x)=2xln2+3x2＞0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1＜0,f(1)=2+1-2=1＞0,所以有1个零点.

(2)由于a＜b＜c,所以f(a)=(a-b)(a-c)＞0,f(b)=(b-c)(b-a)＜0,f(c)=(c-a)(c-b)＞0.因此有f(a)·f(b)＜0,f(b)·f(c)＜0.又因f(x)是关于x的二次函数,函数的图像是连续不断的曲线,因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A.

答案　(1)B　(2)A

考点二　根据函数零点的存在情况,求参数的值可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.

故m的取值范围是[2e,+∞).

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点,作出g(x)=x+的大致图像.因f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,故其图像的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2＞2e,即m＞-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.(www.xing528.com)

故m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

【训练2】解析　画出函数f(x)的图像如图所示,

观察图像可知,若方程f(x)-a=0有3个不同的实数根,则函数y=f(x)的图像与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0＜a＜1,故选D.

答案　D

基础过关题

一、选择题

1.

解析　构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图像如图,由图可知有两个交点.

答案　A

2.解析　设函数f(x)=lnx+x-5(x＞0),则f′(x)=+1＞0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(3)·f(4)=(ln3+3-5)(ln4+4-5)=(ln3-2)(ln4-1)＜0,故函数f(x)在区间(3,4)上有一零点,即方程lnx+x-5=0在区间(3,4)上有一实根,所以a=3.

答案　C

3.解析　当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;

当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)=-1+ln2.由于ln2＜lne=1,所以f(2)＜0,f(3)=2+ln3,由于ln3＞1,所以f(3)＞0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.

答案　2

由函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图像得:0＜m＜1,即m∈(0,1).

答案　(0,1)