实践取向与教材中的数学史内容类型分析

以上所有数学史内容在教材中的编排位置和方式不同，因此，为方便基于教材研究HPM教学，需先按照它们出现的位置将其分为正文类和课后类.其中，正文类再按数学史在教学环节中的编排分为新课引入、新课内容与新课延伸类，课后类则按照数学史本身的内容性质分为课后数学家、课后理论知识与课后实际问题类.即将高中数学人教A版高考涉及教材中的所有数学史内容分为了六类，现将其罗列如下.

1.正文类

1）新课引入类

（1）必修五.

第二章　数列

2.1 数列的概念及简单表示法：毕达哥拉斯学派、三角形数、正方形数

（2）必修五.

第二章　数列

2.3 等差数列的前n项和：高斯和他的故事

（3）必修五.

第二章　数列

2.4 等比数列：古代学者的思想言论

（4）必修五.

第二章　数列

2.5 等比数列的前n项和：有关国际象棋的数学名题

（5）必修五.

第三章　不等式

3.4 基本不等式赵爽弦图

（6）选修1-2 及选修2-2.

第二章　推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理：哥德巴赫猜想

2）新课内容类

（1）必修三.

第一章　算法初步

1.3 算法案例：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法

（2）选修2-3.

第一章　计数原理

1.3 二项式定理

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

3）新课延伸类

（1）必修一.

第一章　集合与函数概念

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念：函数符号的引入

（2）必修三.

第一章　算法初步

1.1 算法与程序框图：算法历史、海伦-秦九韶公式

（3）必修三.

第一章　算法初步

1.3算法案例：《九章算术》的介绍

（4）必修三.

第二章　统计

2.3 变量间的相关关系：“回归方法”的由来

（5）必修三.

第三章　概率

3.1随机事件的概率：雅各布·贝努利的介绍

（6）必修三.

第三章　概率

3.2 古典概型：蒙特拉罗方法

（7）必修四.

第一章　三角函数

1.1 任意角和弧度制：弧度制的发明

（8）选修1-2及选修2-2.

第二章　推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理：开普勒、波利亚和拉普拉斯的言论、“群”的发明

（9）选修2-2.

第二章　推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.2 演绎推理：“三段论”的创立

（10）选修1-2 及 选修2-2.

第二章　推理与证明

2.2 直接证明与间接证明

2.2.2 反证法：哈代的言论

（11）选修1-2 及 选修2-2.

第三章　数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充与复数的概念：虚数单位的发明

2.课后类

1）数学家类

（1）必修二.

第一章　空间几何体

1.2 空间几何体的三视图和直观图

阅读与思考：画法几何与蒙日

（2）必修二.

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

2.3 直线、平面垂直判定及其性质

阅读与思考：欧几里得《原本》与公理化方法

（3）必修二.

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

3.3直线的交点坐标与距离公式

阅读与思考：笛卡儿与解析几何

（4）必修五.

第一章　解三角形

1.2 应用举例

阅读与思考：海伦和秦九韶

（5）选修4-4 坐标系与参数方程.

第一讲 坐标系

阅读与思考：笛卡儿、费马与坐标方法

（6）选修4-5 不等式选讲.

第三讲 柯西不等式与排序不等式

阅读与思考：法国科学家柯西

2）理论知识类(www.xing528.com)

（1）必修一.

第一章　集合与函数概念

1.2函数及其表示

阅读与思考：函数概念的发展历程

（2）必修一.

第二章　基本初等函数

2.2 对数函数

阅读与思考：对数的发明

（3）必修二.

第四章　圆与方程

4.1圆的方程

阅读与思考：坐标法与机器证明

（4）必修四.

第一章　三角函数

1.2 任意角的三角函数

阅读与思考：三角学与天文学

（5）必修四.

第二章　平面向量

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

阅读与思考：向量及向量符号的由来

3）实际问题类

（1）必修一.

第三章　函数的应用

3.1函数与方程

阅读与思考：中外历史上的方程求解

（2）必修二.

第一章　空间几何体

1.3空间几何体的表面积与体积

探究与发现：祖原理与柱体、锥体、球体的体积

（3）必修三.

第一章　算法初步

1.3 算法案例

阅读与思考：割圆术

（4）必修五.

第二章　数列

2.1 数列的概念与简单表示法

阅读与思考：斐波拉契数列

（5）必修五.

第二章　数列

2.5 等比数列的前n项和

阅读与思考：九连环

（6）选修1-1及选修2-1.

第二章　圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

探究与发现：为什么截口曲线是椭圆

（7）选修1-1及选修2-1.

第二章　圆锥曲线与方程

3.2 导数的计算

探究与发现：牛顿法——用导数方法求方程的近似解

（8）选修1-2及选修2-2.

第二章　推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理

阅读与思考：科学发现中的推理

（9）选修2-3.

第一章　计数原理

1.3 二项式定理

探究与发现：杨辉三角中的一些秘密

（10）选修4-4 坐标系与参数方程.

第二讲 参数方程

阅读材料：摆线及其应用

7.3.3 教材中的数学史典型内容分析

针对这六类数学史内容，从每一类中各选出一个典型的数学史料做分析，分析此数学史料在教材中的编排位置和具体内容，以及它能起到什么作用.比如，正文类数学史料用在新课教学上有什么效果，课后类数学史料在学生阅读了解后又有什么收获，等等.后续的HPM教学运用研究都是基于本部分所做的.而对教材编排意图的分析主要是依靠人教版教科书与教师用书中的相关内容.

1.正文类

1）新课引入类：毕达哥拉斯学派的三角形与正方形数

“数列的概念及其简单表示法”是“数列”这一章节的第一课时，对于这一新课内容，教材在编排上将数学史料——古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”与“正方形数”作为新课引入，让同学们利用数形结合的数学思想方法把每一个“三角形”与“正方形”化为“数”，从而化为一列按照一定顺序排列着的数.“三角形数”即1，3，6，10，…，“正方形数”即1，4，9，16，…，由此便引出数列及其相关的概念.

教材内容利用“形数理论”来引入数列的概念，其作用是让学生产生浓厚的兴趣，并激发学生的学习热情，使之主动参与课堂活动——将“形”化“数”，从而学习数列知识，同时还能让学生在学习新课的过程中加强数形结合这种数学思想方法.这也为后面“空间几何体”与“平面几何”的学习做好铺垫.

2）新课内容类：“杨辉三角”与二项式系数的性质

“杨辉三角与二项式系数的性质”是“二项式定理”之后的一个课时的新课内容，因为“杨辉三角”中蕴含了丰富的数学知识，由它可以直观看出二项式系数的一些性质.比如：（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即在本章第二节“排列与组合”最后的“探究与发现：组合数的两个性质”里讲到的组合数的第一个性质：（2）运算性质：在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即在本章第二节“排列与组合”最后的“探究与发现：组合数的两个性质”里所说的组合数的第二个性质：（3）增减性与最大值：由对称性可以知道，二项式系数先增后减，根据项数不同，中间的一项或者两项取得最大值.

所以，教材将“杨辉三角”和二项式定理的学习编排在一起，其目的在于帮助同学们更有乐趣和实践性地学习抽象的二项式系数的性质.

除此之外，“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，它的发现先于国外五百年左右，是非常伟大的数学成就.人教版的教师教学用书中也明确指出，教师应当抓住杨辉三角这一题材，向同学们展示我国数学传统文化的结晶，以引起同学们对先辈的敬仰与对民族的自豪感.

3）新课延伸类：弧度制的发明

“弧度制的发明历程”是“任意角和弧度制”第二课时中的新课边空备注，作为延伸知识.在学习弧度制之前，我们是用角度制来度量角的：单位为度，1度的角等于周角的所以“弧度制”是我们之前完全没有涉及的一个新知识，在深入学习它之前，应先让学生了解其发展历程.其实，6世纪的时候，印度人在制作正弦表的过程中便孕育了弧度制的概念，而欧拉正式建立其概念已经是在1748年了.

教材将弧度制的发明作为新课的延伸内容，其作用是通过教学使学生在了解这些知识之后，便可以厘清“弧度制”的来龙去脉，从而更容易接纳吸收课堂的新知识——弧度制的概念以及弧度与角度之间的换算.另外，学生还可以从“故事”中增加数学素养，巩固数学文化知识.

2.课后类

1）数学家类：海伦和秦九韶

“海伦和秦九韶”是“解三角形”这一章最后的“阅读与思考”内容，承接了本章第二节的“应用举例”知识.

第二节的“应用举例”主要是应用正弦和余弦定理解决生活中的实际问题，然后推导出三角形的面积公式：

这三个面积公式均利用了三角形的两边边长及其夹角.

紧接着教材安排例7让同学们对此面积公式进行实践训练，而例7第（3）小题和例8都是已知三边边长求三角形的面积.并且在这一节的习题中，还出现了对“海伦公式”的证明题，这一系列都是为后面的学习做铺垫.

在学生思考本题证明方法后再通过其后的“阅读与思考：海伦与秦九韶”对其进行更深入、更透彻地学习.这则材料显示了古希腊数学家海伦的事迹以及以他命名的“海伦公式”，还显示了我国古代数学家秦九韶的事迹以及他独立推出的“三斜求积”公式.

具体地，“海伦公式”是利用三角形的三边边长求出三角形的面积：

秦九韶的“三斜求积”公式为

它与“海伦公式”是等价的.

综上所述，教材先由新课内容推导较为简单和常用的三角形面积公式，然后由例题来引导已知三边求面积的方法，接着由课后习题让他们试着独立思考证明“海伦公式”，最后让学生通过阅读教材了解“海伦公式”，即“三斜求积”公式及其发展历程.这样精心编排的目的一是训练学生的解题能力，二是培养他们的发散思维，并让他们从数学史料中感受古代中西数学家们创新进取的数学精神.

2）理论知识类：对数的发明

“对数的发明”是“对数函数”这一小节最后的“阅读与思考”内容，让学生在学习对数的定义和运算性质后，通过这部分知识了解对数的发明背景和历程.它是纳皮尔在社会发展需求下为了简化数字计算方法而苦心钻研出来的，是17世纪数学上的伟大成就.

此阅读材料的作用在于让学生认识到好的数学符号体系是可以大大节省人的思维负担，有益于天文、军事、工程等事业的发展，进而推动整个社会的进步.同时它还可以让同学们感受到数学家们为数学符号体系的发展、社会生产的发展以及科学技术的发展所做出的长期努力和卓越贡献.

3）实际问题类：祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积

“祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”是“空间几何体的表面积与体积”这一小节最后的“探究与发现”内容，作为学生的补充拓展知识.“幂势既同，则积不容异”，祖　原理中蕴含着非常丰富的理论与实践意义.

此阅读材料的作用是，通过对祖暅原理的学习，我们可以利用它再对比已学过的长方体体积公式推导出新课中的柱体体积公式，也可以利用它推导出锥体和球的体积公式，从而加强巩固对于空间几何体的学习和应用.同时还要让学生归纳出利用祖暅原理求未知几何体体积的方法，以此培养学生的归纳能力和逻辑推理能力.

实际上，人教版的教师教学用书也指出教师教学时，可以利用祖暅原理来推导球的体积公式[24].另外，学习了我国古代数学中远早于国外一千多年的这样一个伟大的数学成就后，可以让同学们更加敬佩我国古代数学家，更加了解我国传统民族文化.