提出的教学建议-实践取向的高中数学教学研究

透过现象看本质，透过教师与学生对立体几何的认知态度以及实际操作的分析，提出以下教学建议.

1.正确认识立体几何，辩证看待课程标准

课标为教学提供了可操作性指导，新的理念必定带来新的教学形式.但金无足赤、人无完人，任何事物都不可能十全十美，自然，新课标本身也可能存在不完善的地方，也需要随着时间的推移、实践的验证、时代的变迁逐步修订.新课标理念的推行、新教材的使用都需要集一线教师之智慧，将他们在教学实践中遇到的问题集中起来、反映出来，并想办法加以解决，以使在新课标理念与实际教学之间达到一种平衡.不同观点的碰撞才会有新的思想产生，才有利于推动新课改的进程.教材对立体几何这一数学经典内容在旧教材的基础上进行了不小的调整，这需要教师深入研习，把握新课标的核心思想，结合实际、创造性地使用教材才能更好地实现学生能力的培养，教师们完全可以对教材进行再次研究、二次加工.

正如有些教师所认可的，取适当——益于学生理解和掌握的方法对判定定理进行证明，不但不会增加学生的负担，还能够充实文科立体几何的教学，增强学生良好的逻辑思维.例如，在“直线与平面垂直的判定”中，可以让学生运用探究的方式，利用手中的实物，去发现怎样折叠三角形，才能使得折痕与桌面垂直.在这个过程中，学生们可以充分发挥自己的想象力，能够进行大胆的猜想.在老师的引导下，从最简单的情况入手分析，逐步推敲、层层深入，得出大家都认可的结论：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.这样的结论其实同学们能够意会，但支撑它的理由、让学生信服的理由在哪里呢？要说明该定理并非难事.在教学中，老师首先将该结论翻译成数学语言：平面α内有两条直线a,b，且a∩b=A，α外有一直线l，l⊥a，l⊥b，求证：l⊥α.

我们可以按如下方式进行说理：

因为a∩b=A，

所以不共线，

所以对于α 内任意向量其中p,q∈R，

所以

所以l与平面α内所有直线垂直，

所以l⊥α.

这个过程简单易懂，如果教师们能够积极主动去研究，对教材进行合理加工，找准自己的立场，同时又通过学生的视角去看待教与学，那么诸如此类的问题是能够迎刃而解的.教师工作的创造性在这里就体现得尤为明显.

但不可否认的是，对新课标、新知识把握不够的现象依旧存在.

从了解的情况来看，骨干教师的培训工作大力展开，并且进行得有声有色.但培训内容多以专家讲授、学员聆听为主，学员的自主性、参与性较低.因此，在培训中可多展开讨论，使学员积极参与、主动思考，尽可能地理解讲座的中心思想，在交流讨论中升华认知，不断深化对新课标、新课程的认识.在学习的不同阶段，可让学员进行汇报交流，这可以是一堂精心准备的示范课，也可以是饱含自己新观点、新想法的思想汇报课.这样让专家听、专家评，能够让学员在较短的时间里迅速成长，我们的骨干教师培训项目也才能真正发挥其应有的功能.

2.突破难点，兴趣培养是关键

学生是课堂学习的主体，学生学习的主观动力很大程度上由兴趣决定.但从调查结果来看，文科学生对立体几何的总体兴趣并不浓厚，究其原因在于立体几何本身的抽象性以及高要求的空间思维能力.当学生屡次“遭遇挫折”的时候，他们便会对自己失去信心，对立体几何失去兴趣.此时，教师的主导性应发挥其应有作用.立体几何教学不应该是一个枯燥乏味的讲述过程，而应该是以激发学生学习兴趣为前提的动态发展过程.即让学生带着浓厚的兴趣投入到立体几何的学习中，自信满满地面对立体几何的挑战，这样，立体几何的教学已经成功了一半.(www.xing528.com)

立体几何教学需要大量的图形作支撑，这些图形可以源自实际生活，更可以源自学生时常关注的，比如动漫、电影、旅游胜地、著名建筑等.学生刚接触立体几何时，丰富的图形元素会引起强烈的视觉冲击，并让学生将精力完全集中在多媒体课件上，对后面的内容产生期待.虽然这一做法不排除如某些老师所担心的，可能会为课堂引入带来较多潜在的干扰因素，但是，为了避免风险而扼杀一切有益的创意也是不明智的，只要教师能够适当地把握这个“度”，能从丰富的表象中分离出教学中心内容，突出重点，能让学生聚焦，如此的教学便是我们所想所要的.而事实上，想要做好这一点，并非易事，这需要教师具有强有力的课堂掌控能力、协调能力、语言组织能力，课件的制作在这个环节中也显得尤为重要，传统的教学模式很难让教师在这些环节中达到高度统一.所以，教师的理念需更新，方式需改变，能力需提升.课堂教学不能游离散漫，内容的衔接、知识的过渡、梯度的设置都需要用心地设计，只有课堂本身是环环紧扣的，精彩的，引人入胜的，教学的有效性才能在客观上得到保证.

在教学推进过程中，尽量多使用通俗易懂、富有趣味的语言，以降低学生注意力分散的概率.恰当地设置问题，层层递进，逐次加深，引导学生积极动脑，变静态的知识为主动的求知过程，营造活跃的课堂氛围.在必要时可增添竞争机制，抓住学生不服输的心理特征，促进学生多思考，并对学生多正面激励，给表现积极的学生充分的肯定，让他们在潜移默化中增强信心，增加面对困难的勇气，而勇气跟信心正是文科学生在数学学习中普遍缺乏的.因此，在针对文科立体几何教学时，教师应格外重视这一点.

立体几何部分，定理、公理的描述都较为抽象，加之融入较多数学语言，学生在认知理解上会有一定障碍.为此，教师对这些描述性概念的阐述就需要动脑筋.用多媒体展示，借助实物模型边讲解、边操作，化抽象为具体，语言表达生活化、通俗化，彻底防止学生对立体几何产生恐惧心理.如此一来，剩下的工作我们就有更充分的信心交给学生完成了.

3.聚焦能力培养，空间想象很关键

对于学生空间想象能力的培养，主要从识图、画图和对图形的想象能力方面入手.概括起来为：想得到，画得出，分得清，会处理.画直观图是学生真正认识立体几何的第一步，从初步接触到具体操作，中间跨度的长短在很大程度上依赖于教师教学的有效性与针对性.通过初中平面几何的学习，学生会自然而然地将其迁移至立体几何的学习中，但很多平面几何中的结论在立体几何中并不适用，这在无形中为立体几何学习平添了障碍.教学中，教师首先应做好平面与立体几何的沟通，充分利用平面几何知识引导学生进行正迁移，应用归纳、类比的方式对其不同之处着重区分，让学生在比较中加深对空间元素的理解.只有夯实了基础，空间认知能力的提升才有保障.

立体几何部分融入了合情推理，突破了传统思维模式，为学生解决问题提供了新思路、新视角.学生在合情推理的基础上，再进行必要的逻辑论证，环环相扣，使数学问题的解决过程变得自然而然、顺理成章，数学学习也显得轻松愉悦.新课标在各部分的“内容与要求”及“说明与建议”中频繁使用了“体会”“体验”“经历”“感受”“观察”“感知”“交流”“探究”等对过程与方法，情感、态度与价值观要求的行为动词，并给予学生充分的时间和足够的信任，提供给学生自主学习的机会，而教师在教学过程中也要注意采用多样化的、富有成效的教学方式，以便为学生空间思维能力的发展拓展空间.

空间想象能力的培养是一个长期的任务，立体几何担负此重任，因此，在各个教学环节中应贯彻落实该任务，教学内容，课时安排，教学手段，教学策略，习题选择等都应精心准备，相互协调.要紧扣实际生活，巧用多媒体技术与实物模型，以激发学生学习的主动性.

4.准确把握逻辑推理能力要求，不随意增加难度

立体几何将进一步促进学生逻辑推理能力的发展，在各类立体几何考题中，推理、证明也是最多、最直接的考查内容，这也是教师在教学中格外强调逻辑推理的原因.而实际上，教师往往是在强化解题能力，而忽略了学生解题障碍产生的原因.正如学生所说，教材中的性质、定理都熟悉，但在具体问题中，却不知道如何运用.教师们通常将该问题归结为缺乏解题经验，以至无法熟练掌握性质、定理的用法，致使学生游离在问题表面，仿佛会做却又无从下笔.因此，他们采取的解决方法多以强化练习为主，让学生在大量的练习中寻味立体几何中推理证明的技巧和方法，再在巩固练习中加深理解，最终达到掌握的程度.然而，问题解决需从根源抓起，我们要为学生扫清逻辑推理障碍，应先让学生充分认识逻辑推理的基础内容——概念、性质、定理；再使用通俗易懂的语言对抽象概念加以阐述，使用直观的演示或操作对定理加以确认，使用较简单的方法对性质加以论证，并在阐述、确认和论证中，让学生经历概念的形成、定理的产生、性质的推导过程.其实，知识的再发现也是知识再创造的过程，也是加深理性思维、逻辑思维的过程.

从调查中我们也看到，学生是希望教师能够对教材内容进行深度剖析的，他们对教材中未给出直接结果的东西是好奇的，如思考、探究栏目里的内容；判定定理的推导过程，等等.教师应充分利用这些“悬念”，先让学生自主思考，合作交流，找出自己认可的答案，运用已学知识对判定定理加以证明.当然，为了保证教学进度，这一工作可以根据实际情况作为课后作业让学生自己完成，在适当的时候对作业结果进行评价，并跟学生交流自己的解法，在肯定学生劳动成果的同时，拓宽学生的思路，解决教材中的遗留问题.当然，巩固练习不可或缺，难度把握、题量安排很重要.

值得注意的是，通过对2020年各省市高考考题研究，发现文科立体几何试题大致可以分为两方面的考查：逻辑推理与度量计算.从考题来看，整体来说比较平稳，没有出现极易或极难的题目.其中，大多数省市均将第一小问作为逻辑推理能力的考查，并集中在线面平行关系和线面垂直关系的证明上.处理线面平行，不外乎以线线平行和面面平行为踏板.纵观2020年考题，可以说运用面面平行“一招”便可“制胜”.教师要做到有的放矢，避免在教学中为学生设置难题、偏题，也不要受惯性思维的影响，沿袭以往教学的重难点.同时必须注意文理科学生之间的差异，精选例题、习题，抓基础、练能力，注重在直观感知、操作确认的基础上积累经验，着眼于学生能力的提升.重点剖析学生不易理解、经常出错的地方，比如找二面角、线面角问题.这需要精讲多练，突出作图、解题的本质，首先帮助学生克服心理障碍，然后强化解题技巧，让学生对难题的解答也逐渐达到掌握的程度.

5.空间向量非万能

立体几何改革中，文科空间向量的删除或许是争议最大的版块.老师一方面害怕给学生增添没必要的负担，另一方面又担心学生出现完全可避免的失误，所以很多老师在此都有疑虑.空间向量是解决立体几何问题的有效工具，一线教师可以适当给文科学生补充该部分内容，以开阔他们的眼界，拓宽他们的解题思路，增强他们学好立体几何的信心.它是一种手段，一种方法.而2020年的四川卷让我们深刻感受到只有永恒的解题能力，没有不变的解题方法.向量法在很多地方都行之有效，但绝不可在教学中神话其解题功能.虽然该题给出的是一个直棱柱，建立直角坐标系非常方便，但由于Q点的具体位置不能确定，在写Q点的坐标时会出现两个未知常数，这为后面计算向量以及点到平面的距离造成很大的困扰，非但没起到化抽象为具体，化繁为简的效果，反倒增加了计算量，增加了题目难度.考试说明中也有相关提醒，文科学生用向量法解立体几何或将不占优势.新课标理念下的高考，命题专家也在命题时倾向综合法的求解，如果勉强使用向量法，反倒会陷入专家们精心设下的“陷阱”.对于一线教师来说，这或许是不必补充空间向量的最强有力的理由.所以，在教学中，教师必须做好综合几何的教学，指导学生清楚掌握空间点线面位置关系的判定与证明，应用等积换底度量距离，同时也应落实线面角、二面角的平面角的作法、求法，注重学生动手操作、用眼观察能力，以便在新课开展与旧知巩固中不断训练学生的空间想象能力，在深化基础的过程中提升学生的空间认知能力.

既然空间向量在立体几何的教学中出现如此大的争议，那为何不对空间向量从文科数学中删除做一些思考呢？本人资历尚浅，对此研究不深，拙劣见解有如下几点：第一，删除文科空间向量是为学生减负的体现之一.空间向量对文科学生后续发展的作用不明显，在繁重的高中学习任务中，将其删除，对学生而言应该是有积极影响的.第二，欧几里得的《几何原本》是人类史上影响最大的著作之一，对后世数学及自然科学的发展产生了极其深刻的影响，其数学思想和方法支配了数学两千多年，其中三段式的推理思维方式更是影响至深.立体几何回归综合法的应用，在某种程度上是对经典三段式推理思维的传承与延续，同时深化数学的本质特性——逻辑性.第三，向量法解题是程序化思维模式，这更加符合理科学生的思维习惯.综上所述，是否该为文科学生补充空间向量的疑虑是不是有所减少呢？

实践中我们可以看到，学生在线面角和面面角的处理中问题是最大的，由于缺乏空间感或者无法准确地使用相关性质、定理做出相应的平面角导致出错.这让很多学生都遇到同一个问题——老师讲时很清楚，自己做时有困难，慢慢地一些消极情绪开始滋生，这是支持教师补充空间向量的最充足的理由.但是，遇到困难应“就地解决”，有针对性地瓦解难题，而不应采取“绕圈迂回”之术.要学生使用向量法，教师就必须处理好“何时给学生补充空间向量？”“补充到什么程度合适？”等一系列问题.如果客观条件不允许或是在实际教学中出现无法预见的问题，空间向量的补充不仅无法达到我们预期的效果，更会因学生理解上的偏差而影响整个立体几何的学习效果，同时，线面角、二面角“难”的问题也没能得到解决.在前面的分析中也有提到，空间向量的教学并不像有些教师认为的“简单易懂”.新内容加入，学生需要一定的适应与接收的时间，更需要有巩固练习的时间.学生会犯理解上的错误，更会犯计算上的错误，不得不说，向量法的计算量着实不小.与其如此，还不如将这些时间与精力直接用在线面角、二面角的加深与巩固上，发挥集体备课的优势，集各教师所想与所长，帮助学生找准问题的突破口，让“难题”慢慢变为“常规题”，让“难点”逐渐变为“易入手点”，做学生坚强的后盾，提高学生面对困难的勇气.