高中数学教师在三角函数教学中的实际表现分析

1.对现行教材中三角函数定义的理解

在本次课程改革中，三角函数是少有的几个连定义都发生了变化的内容.现行教材中，采用的是单位圆定义法，其优点在于它是三角函数的所有性质的出发点，直观形象，可以培养学生探索、发现和归纳的能力；但是它也有缺点，与终边定义法相比，新定义在一些求三角函数值的运算中过于烦琐，浪费时间，特别是在高考中，这是一个致命伤.因此，到底是单位圆定义法好还是终边定义法好的争论一刻也没有停止.于是，为了调查“高中数学教师对现行教材中三角函数的单位圆定义法是否认同”设置了以下问题（见表2-4），并结合课堂观察，进行分析.

表2-4

分析表明：大多数的数学老师对三角函数的单位圆定义还是比较认同的，但是仍有10.3%的老师基本不认同单位圆定义法.下面的内容选自高中人教A版必修四第一章第1.2.1节“任意角的三角函数”中的部分例题.

这两道例题都是求三角函数值的，现行教材是通过单位圆定义来求 解，我们发现其过程相当烦琐.特别是第二道例题，由于已知点0P不是单位圆上的点，所以教材先是求出点0P到原点的距离再根据利用相似比将点0P转化成角的终边与单位圆的交点，最后再利用单位圆定义求解.而且，如果角不是第一象限角，还要注意其符号的选取.由此可见，其解题过程烦琐复杂.课后，很多同学也反映，做题时思维有点混乱，感到有点困难，这也是那些老师不认同单位圆定义的主要原因.

但是，现行教材的编写者们真的就没有考虑到采用单位圆定义会出现这种情况吗？答案是否定的.课程改革并不等于革命，并不是彻底地推倒重建，过去多次课程改革的经验，告诉我们一个事实，课程改革的首要任务是理性地反思当前课程的现状，不仅仅是反思它的弊端，同时还要反思它的优势.现行教材的编写者们对于这一点，应该有比较深刻的认识.所以，他们在突出单位圆定义在三角函数内容中的中心地位的同时，没有放弃终边定义的优势，即在现行教材的旁白中给出了终边定义法，只不过这些老师并没有仔细去揣摩教材编写者的意图.另外，很多老师还有一个顾虑，就是同时教给学生两种定义，会造成学生思维上的混乱，还会增加学生的负担.那么，教师在三角函数的定义教学中，如何处理好这两种定义之间的关系，就显得尤为重要.下面是一位资深教师L老师的任意角三角函数定义的第一课时的教学片段，其中就较好地处理了这两种定义的关 系，值得我们借鉴.

L 老师的教学流程是：由我们初中所学的锐角三角函数的定义引入，先推广到任意角的终边定义，然后再引入单位圆，推导出单位圆定义.这时，一定要注意进行总结，反复强调这两种定义之间是一般与特殊的关系.L老师在任意角三角函数定义教学的第二课时，对上节课所学的两种定义进行了复习巩固：

L 老师：上节课我们学习了任意角三角函数的定义，请同学们回忆一下，我们昨天是怎么进行定义的.

学生甲：就是角α的终边与单位圆的交点P(x,y)的坐标或者坐标的比值：

L 老师：对，这就是单位圆定义，我们以角为自变量，角的终边与单位圆的交点的坐标或者坐标的比值为函数值.这就是我们对现行教材中三角函数的定义.我们当时说还有一种定义？（随机选择同学起来回答）

学生乙：也可以在角的终边上任意取一点P(x,y)，它到原点的距离为r，则

L老师：这个我们称作终边定义法，这也是我们的老教材中的定义.现在再来看一下这两种定义之间有什么联系.终边定义法是在终边上任意取一点P，如果我们将这一点特殊化，令r=1，再引入单位圆，就得到了单位圆定义.这两者之间是一般与特殊的关系.

这样一来，L 老师就能成功地将两种定义都教给学生，并在教学过程中渗透了特殊与一般的数学思想.在后续的学习中，L 老师也比较注重引导学生明白单位圆定义和终边定义各自的优点，以便取长补短.这样，学生同时学习了这两种定义，也没有像一些老师所担心的那样会加重学生的学习负担.同时还引导他们明白这两种定义的内在联系，也没有造成他们在认知上的混乱.

2.对三角函数部分教材处理的情况

“教材是课程目标的载体，是实施教学的主要资源.”课程改革必然会提出课程目标，它会直接反映在教材内容的变化上.现行教材的编写是严格按照课程标准中的要求进行的.而与原有教材相比，现行教材中对三角函数内容做了许多调整，这些调整背后都隐藏着课程目标的变化，绝非无的放矢.这就要求数学教师在教学时，要忠于教材，按照课程标准中的要求进行教学.为了调查高中数学教师对三角函数部分教材处理的情况，设置了以下三道题目（见表2-5）.

表2-5

调查发现，大多数教师认为三角函数内容调整的合理，但仍有 15.4%的教师认为三角函数内容调整得不合理；有 87.2%的老师熟悉三角函数内容及其编排的变化以及这些变化的理由，有 12.8%的老师不熟悉三角函数内容及其编排的变化以及这些变化的理由；而且高达 97.4%的老师在讲授三角函数时，会多多少少地补充课标要求外的知识点.分析其原因，有以下两点：

第一,《普通高中数学课程标准》中明确提出了高中数学三角函数的教育目标，即教师教什么，怎么教，学生学什么，怎么学，而这也是现行教材中三角函数内容变化的依据，它对于高中三角函数的教学具有非常重要的指导意义.但是，一些教师特别是一些老教师，相信自己的教学经验，忽视了《普通高中数学课程标准》的指导作用，没有仔细去研读《普通高中数学课程标准》，所以，他们对于现行教材中三角函数内容的巨大变化感到困惑，而在教学中也仍然是按照以前的教学经验去安排教学.

第二，现行教材中，对传统的三角函数内容做了较大幅度的删减，对一些内容的要求也降低了，那些仔细研究了《普通高中数学课程标准》的数学老师，能明白这些变化的依据.但是，一部分人仍然心存疑虑，不知道课改后的高考到底怎么考.所以，很多教师对于那些被删去的内容或要求降低了的内容总是感觉到不那么放心，于是加深了教学内容的深度，重新拾回那些被删掉的内容，把那些要求降低了的内容也再度提高要求.

3.教师的教学方式

教师的教学方式，对学生的发展有着巨大影响，因为学生数学能力的养成，在一定程度上是由教师的教学方式所决定的.而三角函数，因其内容的特殊性（数形结合、形象直观），非常适合用来培养学生的观察、探索和分析等数学能力.因此，教师教学方式的选择，就显得尤为重要.为了调查高中数学教师在三角函数中教学方式的选择，设置了以下问题（见表2-6）.

表2-6

数学教师选用最多的教学方法是“以探究为主”，占43.6%；“以提问为主”的占10.2%，两者共占53.8%.这说明，就总体而言，数学教师在教学过程中，选择教学方法还是比较倾向于使用新课标所提倡的教学方法.但是分别有 23.1%的老师选择“以讲解为主”和“多练少讲”这两种传统的教学方式.新课标倡导“积极主动，勇于探索的学习方式”，这一点在现行教材的三角函数内容中体现得淋漓尽致.在这一部分内容中，共设置了20个思考，15个探究，17个旁白问题，甚至在一些公式和性质的推导中，也留下一些空白，由学生积极去填补完整.

例如，在现行教材必修四中第三章的3.1.2节“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”中，教材以两角差的余弦公式C(α-β)为基础，推导出了两角和的余弦公式C(α+β).但是，它并没有给出两角和与差的正弦公式S(α+β),S(α-β)和正切公式T(α+β),T(α-β)的推导过程，而是给了我们两个探究，以引导学生自己去推导剩下的四个公式.

通过这个例子我们发现，教材编写者充分考虑了学生的实际情况，且以学生已有的知识经验和能力为基础.对于那些热爱数学、数学基础较好的学生，完全能够在教材的引导下进行自学；而对于那些对数学兴趣不高或者数学基础不好的学生，也可以在课堂上，在老师与教材的引导下去探究，去寻找知识的来龙去脉，体会知识的产生及推导过程.最后，再用一个旁白问题，引导学生去归纳总结这六个公式之间的内在联系，形成一个以C(α-β)为中心的知识网络，便于学生理解记忆.这样一来，学生不但能真正地掌握这些知识，还能体验发现数学、再创造数学的乐趣，增强学习数学的信心，培养其自主学习的能力.

而很多教师对“学生探究”的主要顾虑是教学时间紧张，没有那么多时间让学生去探究.其实不然，新课程《普通高中数学课程标准》中非常重视基础知识和基本技能的教学，那么如何使学生更好地掌握基础知识和基本技能呢？上面的例子给我们做了一个很好的示范，即让学生在教师的引导下，去发现、去探究三角函数知识的来龙去脉，并体会其蕴含的数学思想与方法.学生在经历了对三角函数知识的再创造过程后，才能明白它们的本质，才能真正将这些知识纳入自己原有的知识网络中去，形成一个完整的知识体系.所以，从知识掌握及培养学生学习数学的兴趣角度来看，现有教学方法大大节省了教学时间.

更重要的是，相对于传授给学生知识，更重要的是培养学生获取知识的能力，以及独立学习的能力.因此，在平时的数学教学中，学生自己有能力探索出来的东西，就一定要让学生自己探索，教师只是起一个组织者和引导者的作用.

4.学生能力的培养

数学给很多学生的感受就是枯燥无味，而且在日常生活中除了用到加减乘除等数学运算外，他们不知道数学还有什么用处.因此，很多学生对学习数学的积极性不高，甚至厌恶.针对这种情况，新课标明确提出要“发展学生的数学应用意识”，即将学到的数学知识运用到日常生活与生产实践中去.而三角函数作为描述现实世界周期变化运动的数学模型，是培养学生数学应用意识的重要内容.我们应该充分发挥三角函数的应用性，培养学生的数学应用意识，从而激发起学生学习数学的兴趣.为了调查高中数学教师对于三角函数应用性的重视程度，设置了以下问题（见表2-7）.

表2-7

分析表明，在三角函数教学中，对于“三角函数作为描述周期变化的数学模型”这一本质，有33.3%的老师非常重视，59.0%的老师比较重视，但是有7.7%的老师不太重视.而在“您认为培养学生运用三角函数知识解决实际问题是否重要”这个问题中，有30.8%的老师认为非常重要，有51.3%的老师认为比较重要，还有17.9%的老师认为不太重要.这说明，绝大部分教师比较重视三角函数的应用性，以及培养学生应用意识的必要性.但是，还是有相当数量的教师忽视了这个问题.

《普通高中数学课程标准》中三角函数部分的内容发生了很大变化，主要是对传统的三角函数内容进行了较大的删减，例如，删减了余切、正割、余割以及反三角函数等；同时对一些内容的要求也降低了，例如，对三角恒等变换，不要求做复杂的恒等变形.《普通高中数学课程标准》这样处理，就是为了突出“三角函数是刻画周期变化的数学模型”的本质.这体现了《普通高中数学课程标准》对三角函数的应用性的重视，以及对培养学生应用意识的重视.在必修四的第一章中，将“三角函数模型的简单应用”单独列为一节，并在其中讲解了如何利用三角函数来描述“一天中温度的变化、太阳光线与房屋的修建、潮汐与船进港”等具有周期性的现实问题.通过对这些内容的学习，可以帮助学生认识到数学就在我们身边，数学与我们的实际生活息息相关，我们能用数学知识去解决实际问题，数学是有用的，从而使学生产生“我要学习数学”的迫切需要，这样就能最大限度地调动起学生学习数学的积极性，激发他们学习数学的兴趣.同时，让学生经历解决实际问题的过程，不仅能培养他们探索、发现和分析的能力，还能培养他们克服困难的勇气，磨砺他们的意志，培养他们透过现象看本质的唯物主义辩证观.

由于学生在学校学习的时间只占其人生中的很小一部分，在将来的生活和工作中，他们会遇到种种疑问和困难，这时不会有专门的老师来教他们解决问题.从这个意义上来说，教会学生学会学习的能力，比传授给学生知识更加重要.授人以鱼不如授人以渔，所以课程倡导“合作交流、自主探究”的学习方式，而自主探究是培养学生学会学习的重要途径，同时还能培养学生克服困难的勇气，形成正确的人生观和价值观.为了调查高中数学教师对学生自主探究的认同程度，设置了以下问题（见表2-8）.

表2-8

在现行教材中，三角函数部分设置了很多“思考探究”，有28.2%的老师基本不认同花大量的时间让学生自己探究，还有7.7%的老师表示完全不认同.下面从与一位资深数学教师的谈话中，来分析其原因：(www.xing528.com)

研究者：L 老师，明天我讲三角函数线，我准备这样上课：首先由我引导学生推导出余弦线，然后由学生探究正弦线，最后我们共同来探究正切线.这一节课，我预计就讲三角函数线的定义，然后再做一道练习题（让学生画三角函数线）.

L 老师：你这样讲的话，一节课就只能讲三角函数线的定义了，它的一些性质，比如利用三角函数线来求三角函数的值域，利用三角函数线求角的范围，你什么时候讲呢？

研究者：利用三角函数线来推导三角函数的性质，可以单独讲一节课，这样学生也能理解得更加透彻.

L 老师：但是，这样的话，你后面的练习还要讲一节课.那么，三角函数线这一节内容你就要讲三节课时间，但是，课标规定这节内容只讲两节课，这里时间用得过多会让后面的学习不好安排.

研究者：哦，那么三角函数线的定义，就只有直接讲了.

L 老师：嗯，三角函数线定义是一个难点，很多学生都不能理解，学生哪里探究得出来，还是老师直接讲吧！

这一段谈话是在上“三角函数线”这一节课前与L老师的交流.三角函数线是一个难点，学生理解起来比较困难，很多学生不知道三角函数线是怎么得来的，到底是个什么东西，于是决定在这堂课中，采用探究式教学，引导学生和教师一起探究三角函数线的由来，让学生经历三角函数线的发生发展过程，从而加深对三角函数线的认识.

从上面的谈话可以看出，制约“学生探究”的主要因素是课堂教学时间.虽然三角函数删减了许多内容，并引入了单位圆、向量等工具，大大简化了三角函数概念、性质和公式的推导过程，但是三角函数的课时也由原来的46课时减少到32课时，所以从教学时间角度来说，三角函数的教学难度并没有明显的降低.根据课堂观察，在进行三角函数教学时，教学时间还是比较紧张的.所以，很多教师，特别是老教师对于放手让学生自己探究，还是持反对态度.

另外，很多教师觉得学生的知识和能力都非常有限，探究出来的东西比较肤浅，不能系统化，最后还是需要教师来讲解，反而浪费了时间.同时在学生探究的过程中，往往还会出现一些不可预测的事件：一是可能会超出教师的掌控，二是会影响教学的连续性，这些都会导致课堂效率的降低，而这恰恰是很多教师都不喜欢看到的.

还有，学生能力的培养是一个长期的过程，见效比较慢，容易被人们忽视.而人们看一个学生是否“优秀”，往往都是根据他的学习成绩来判断的；而判断一个教师是不是“好教师”，其标准也是他班上学生在高考中的升学率.因此，在高考的压力下，很多数学教师的教学目标就直接指向了高考，并在知识的深度和广度上下足了功夫.可以预见，在家长、学校、社会对学生和教师的评价没有改变之前，这种重知识、轻能力的局面将会长期存在.

5.学生数学思想的培养

《普通高中数学课程标准》对学生数学思想方法的培养非常重视，在现行教材的三角函数部分，到处都渗透着数学思想方法，其中，最主要的数学思想方法就是数形结合思想；另外，还有化归、特殊化、类比等数学思想方法.为了调查高中数学教师“在三角函数教学中，是否有意识地渗透数学思想方法”，设置了以下题目（见表2-9）.

表2-9

分析表明，有76.9%的老师经常有意识地渗透“数形结合、类比联想以及一般化”等数学思想方法，有23.1%的老师偶尔会这样做.这说明，所有的高中数学教师都有在教学中渗透数学思想方法的意识，但是有一小部分教师的意识还不够强烈.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.而数学方法则是处理、探索、解决问题时，实施有关“数学思想”的技术手段与操作程式.数学方法以数学思想为指导，而数学思想要借助数学方法来体现，两者互为表里、相互为用，所以我们一般将两者统称为数学思想方法.数学思想方法是人们对数学知识进行高度提炼与概括后，对数学知识的本质认识.一个良好的知识结构，不在于知识点的多少，而在于如何将这些知识有机地联系起来，形成一个系统的知识网.而要想完成这个目标，就要求我们必须抓住这部分知识的本质.对数学而言，数学思想方法就是数学的灵魂，而数学的本质是联系各方面数学知识的纽带.也只有掌握了数学思想方法，才能将各部分数学知识有机地结合起来，创建合理的数学知识结构，同时还能促进学习效果的正迁移.

学习了数学知识，并不等于就拥有了数学能力，数学能力的形成以数学知识的掌握为基础，只有将数学知识运用于实践，才能使我们的数学能力得到发展.实践证明，用题海战术作为发展学生数学能力的途径并不成功，其关键在于忽视了数学思想方法在数学问题解决过程中的作用.数学思想方法是数学中的精髓，它对数学问题的解决起着指引方向的作用，而在数学问题解决的过程中，将伴随着学生数学能力的发展.因此，学生在掌握足够的数学知识的基础上，发展数学能力的关键就在于对数学思想方法的掌握和运用.

下面是对任意角三角函数定义教学第一课时和第三课时两节课的课堂观察：

【任意角三角函数定义教学第一课时】

在任意角三角函数定义的教学中，最初的终边定义法为sinα=其中点P是角α终边上的任意一点.数学上一直都追求简洁美，那么我们能不能找到一个合适的点，使得这个比值更简单呢？我们将这个点特殊化，即当点P到原点的距离r＝1时，即点P为角的终边与单位圆的交点时，提出单位圆定义：

【任意角三角函数定义教学第三课时】

L老师：我们研究了正弦线、余弦线，接下来该研究什么？学生：正切线.

L老师：正弦、余弦所对应的线段比较明显，好找，但是正切是坐标的比值，没有具体的线段，怎么找啊？

学生：思索.

L老师：能不能特殊化.你想，正切值与点P在终边上的位置有关吗？

学生：没有.

L 老师：那能不能特殊化，使它的比值更简单，类比前面的sinyα=的变形.

学生：使r=1，就可以得到.

L老师：那么现在呢？

学生：令x=1，则tanα=y.

L老师：对.按我们所对应的，纵坐标y能找到吗？

学生思考一会，有人说可以过点A做x轴的垂线.

L老师：非常好.我们过点A做x轴的垂线，它与OP交于一点，这个点我设为T，它的横坐标是1，纵坐标就是我们要找的y.这样，我们就可以用它的纵坐标来表示它的正切值，通过特殊化，就可以使这个式子更简单，即tanα=y.

通过课堂观察，可以发现L老师在任意角的三角函数定义的教学中，渗透了特殊化和类比等数学思想方法.这说明L老师在数学教学中，还是比较注重数学思想方法的渗透，对学生数学能力的培养还是比较重视的.

6.现代信息技术的应用

现代信息技术的快速发展，对我们的数学教学产生了重大影响，特别是像三角函数这一类建立在图像基础上的内容.由于三角函数的所有性质、公式和图像都是以单位圆定义为出发点，所以现代信息技术与三角函数教学的有机整合，有利于我们揭示三角函数知识的本质；通过对三角函数知识的动态变化过程的演示，有利于增加课堂容量，提高教学效率，激发学生学习数学的兴趣.为了调查高中数学教师在三角函数教学中现代信息技术的使用情况，设置了以下问题（见表2-10）.

表2-10

分析表明，有12.8%的教师几乎不用，有28.2%的老师经常使用，但效果一般，这说明信息技术在三角函数课堂中的应用还存在一定的问题.

在三角函数教学中，我们用得最多的现代信息技术是多媒体教学.在几乎不用多媒体教学的这一部分教师中，大多数是老教师，由于他们所处的年代落后，没有学习过多媒体应用技术，现在想学已感力不从心，所以他们已经习惯用传统的方法进行教学.还有一些教师，是因为学校的条件有限，没有安装多媒体教学设备，比如某高中的老校区就没有安装多媒体教学设备，导致这些老师无法使用多媒体进行教学.

另外，高达28.2%的老师经常使用多媒体教学，但是效果一般，主要有以下三方面的原因：

第一，很多教师在应用多媒体进行三角函数教学时，为了吸引学生的注意力，总是把画面设计得过于生动形象，结果学生的注意力都被那些生动的画面给吸引了，忽视了数学知识，本末倒置.

第二，一些教师在进行多媒体教学时，将数学知识直接“放映”出来，往往还在推导第一步的时候，学生就已经看到了最后的结果，结果使学生丧失了一个自己逐步推导和探究的过程，而教师只是起到了一个放映师的作用.

第三，用传统方法进行教学，教师们在板书时，都会注意将一些重要的知识点和解题步骤留在黑板上，这对于那些当时可能还没有理解的同学，后面还有机会对照黑板上老师的讲解，进行再次理解.然而，一些教师“迷信”多媒体教学，过度地应用多媒体技术，而由于使用多媒体教学时，我们制作的课件是一页一页的，老师讲完一页就翻过一页，对那些没有听懂的同学，已没有机会对照老师的讲解进行再次理解.

综上所述，我们发现，现代信息技术虽然对我们的三角函数教学有很多好处，但是，我们也不能过度依赖它，新课程要求要“恰当运用现代信息技术，提高教学质量”.因此，我们要将现代信息技术与传统的教学方法有机地结合起来，取其精华，去其糟粕，才能使现代信息技术更好地为我们的数学课堂服务.