教师访谈：实践取向的高中数学教学研究

在对三角函数模型的问卷分析中，从第12题和第13题的统计中，我们得知，高中教师对三角函数模型的课程观持有分歧；从第16题的统计中反映出，教师对三角函数模型的教学观也持不同态度，即有1/4的教师不赞成或不清楚三角函数的周期性应更为重要，在教学中应更加关注和体现周期性.为进一步探究一线教师在这三个问题上是如何理解以及持何种认知和看法，我们从被调查教师中选取了部分教师，对相关问题做了教师访谈，从中可以得出以下结果：

（1）不赞成“三角函数是学生最难学的一种函数，也是学生进一步学习函数的最大障碍”的教师认为：学生最难学的以及阻碍学生进一步学习函数的应是“抽象函数”“含参函数”或“导函数”.因为抽象函数没有具体解析式，也就是说，它所刻画的“变化规律”是隐藏的、不易发现的，需要从已知的性质去推导出它的其他性质，这对学生的数学思维要求很高，学生经常做不出该类型题；含参函数，主要是因为学生对其理解有很大困难，在解相关类型题时，可能会出现运算复杂或要进行分类讨论的情况；而导函数，是因为它常与高次函数、超越函数发生联系，经常出现较难的题型，如高考试卷中的压轴题.因此，这些教师认为它们才是最难学的一种函数.

但部分教师也认为三角函数是学生进一步学习函数的最大障碍.他们之所以这样认为，是因为之前学习的基本初等函数(Ⅰ)：指数函数、对数函数和幂函数相对容易，紧接着又学习较复杂的三角函数，而三角函数在内容和性质上都比之前学过的函数增多了，如诱导公式、和差公式，学生需要记忆的内容也就增多了，而且三角运算远比指、对数运算复杂.因此，从学生的心理特征和认知水平上看都有一定困难.

由此可见，持不赞成态度的教师们基本是从解题角度来确定函数学习的难点的.显然，抽象函数、含参函数以及导函数是对函数知识内容的加深，但这些函数都不能很好地描述现实生活中的变化现象，与新课程的函数模型理念有一定偏差.我们从《普通高中数学课程标准》中也可发现，对抽象函数、三角恒等变形等内容也是降低了要求，减少了相关知识点，并删减了过于复杂、烦琐的函数训练内容，只是侧重体现几种具体的、典型的初等函数模型，如指数函数、对数函数和三角函数等.

（2）对“高中三角函数是否是初中三角函数的扩充”说法，有的教师认为：从横向看，高中三角函数是对初中三角函数基本概念的完善；从纵向看，无论是内容的增多、性质的扩充，还是应用的拓广，高中三角函数都得到了加强.但有的教师却不以为然，他们认为：从三角函数的产生和发展来讲，三角函数最先出现在几何中，而后独立出来形成三角学，再发展成今天的三角函数之说，也就是说，“三角函数”最先是解决几何中的测量等问题的；高中三角函数主要是看成描述周期现象的函数模型，是从函数角度来研究学习的，而初中三角函数则主要是从几何角度来学习的，所以说这两个阶段的三角函数是有很大差别的，联系并不大.

根据以上教师对三角函数的两种不同认识，我们也发现在教学中存在两种不同的教学方式：一种是用单位圆来定义三角函数；另一种是用边与边的比例来定义三角函数.而《普通高中课程标准实验教科书 数学》（人教版）是采用单位圆来定义三角函数概念的，这可能给有些教师造成高中三角函数与初中三角函数没有联系的错觉.教材选择单位圆来定义，是方便后续的进一步学习，只是教学方式不同而已；但本质上，它是三角学的继续发展，也就是说，是初中三角函数的扩充.

（3）大部分教师在课堂教学和知识训练中还是较突出和频繁地强调和训练三角函数的单调性、最值以及变换等方面，而对其周期性却轻描淡写.他们认为，在高考试卷中经常以一道大题来考查三角函数的解析式变换和单调性，而周期性一般是以一道选择题或填空题来考查.可见，教师的教学突出点还是高考常考点.

1.6.3 教学分析

在前两节中通过问卷分析和教师访谈，我们了解并分析了教师对“作为函数模型的三角函数”的课程观、教学观和应用价值观.现在，为进一步了解教师的“知行合一”情况，如在教学中，是否真正做到从现实背景中来探究三角函数；是否突出了对周期性的教学或对周期性的强调等，我们选取了“正、余弦函数的图像教学”中的教学片段来进行案例分析.

片段一：

【教材分析】

本节课是我们学习三角函数概念后，继而研究其性质的“准备课”，是为后面研究三角函数性质做铺垫的.对函数性质的研究，我们通常以函数图像为载体，通过对图像的直观观察，归纳出图像特征，最后抽象出函数性质，这正体现了数形结合思想.

三角函数是刻画周期变化现象的数学模型.对于周期函数，我们只要研究清楚它在一个周期内的性质，其整体性质也就完全清楚了.因此，我们要先学习周期性，再学习单调性和奇偶性等.

从教师对三角函数的“教材分析”中，我们可发现，教师对三角函数的认识是较准确的，抓住了模型的特征（周期性）.即要研究三角函数的整体性质，只需要研究它在一个周期内的性质即可.这样的教学设计，正突出了周期性的重要性.

片段二：

【创设情景，引入新课】

多媒体演示：“简谐运动”实验.

“将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.……物理学中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.”（多媒体展示实验图像），如图1-1所示.

图1-1

师：通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图像是否有一个直观的印象？如果我们用数学的方法画出该函数的图像，该怎么办呢？（引导学生积极思考，学生可能会回答用“描点法”）

生：描点法.

师：如果用描点法来画，不够精确，且不好描点.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.

本讲课一开始就引入学生熟知的物理实验：简谐运动，当学生对图像形成感知后，再设置问题，进而探索正弦函数图像的准确作法，引出新课.本节课突出了三角函数的模型背景，真正做到从学生熟悉的情境中引出数学知识，进行探究学习.

片段三：

【设置问题，推进新课】(www.xing528.com)

问题1：一般角的三角函数值都是取近似值，不易描出对应点的精确位置.那么我们如何得到任意角的三角函数值，并用有向线段长表示出来呢？怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢？也就是说，如何得到y=sinx,x∈[0,2π]的精确图像呢？

问题2：如何得到y=sinx,x∈R的图像？

多媒体演示：作正弦函数图像.（老师先让学生阅读教材、思考讨论，指导复习正弦线）

解决问题1：第一步，在直角坐标系的x轴上取一点O1，以O1为圆心、单位长为半径作圆.从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份.过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于：…,2π等角的正弦线（确定纵坐标）.相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份（确定横坐标）.

第二步，把角x的正弦线向右平移，将它的起点与x轴上的点x重合（相当于“描点”），再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，就得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像（相对于“连线”），如图1-2所示.

图1-2

解决问题 2：因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π）,k∈Z且 k≠0的图像，与函数y=sinx,x∈[0,2π）的图像的形状完全一致.因此，我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π）的图像向左、右平行移动（每次移 2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像，如图1-3所示.

图1-3

教师以“问题串”的形式来探究三角函数图像，先提出问题，再解决问题，引发学生积极思考.本讲利用单位圆和三角函数线来作图，解决了问题1；在此基础上，利用三角函数的周期性，问题2也迎刃而解.这里突出了三角函数的周期特征.但其中用单位圆和函数线来作三角函数的图像，学生是很难发现且不易理解的，这也体现了三角函数是一个学习难点.

教师让学生经历画函数图像的过程，可使学生对三角函数的“变化规律”形成图像认识，从而将文字语言转化成图像语言，并从图像中直观地认识其周期变化，形成感性认识.这也从图像角度间接地体现了三角函数的模型特征.

此外，将图像教学与信息技术有机地整合起来，利用多媒体技术画正弦函数图像，生成动态的演示过程，使图像更加形象、生动.另外，本节课要求的作图较多，使用多媒体作图，大大节省了时间，提高了课堂效率，这也是三角函数教学的一个亮点.

片段四：

【变式练习，能力提升】

变式训练1：画出函数y=,x∈R的简图.

教学活动：老师引导学生思考y=的意义，让学生发现只需将y=sinx 在x轴下方的图像翻折上去即可.进一步探究发现，只要我们画出y=,x∈[0,π]的图像，然后向左、右两边每次平移 π 个单位就可以得到y=的图像.所以，现在又将问题转化为用“五点法”作出y=sinx,x∈[0,π]的简图.

解答过程：多媒体呈现.

【课堂小结，知识建构】

让学生主动总结本节课学习的主要内容，老师做提示和补充.

（1）要画较精确的正弦函数图像、余弦函数图像的方法是什么？要画快捷、实用的正、余弦函数图像的方法是什么？根据三角函数之间的关系，又可从什么角度来画函数图像？

（2）我们先画出正、余弦函数在[0,2π]上的图像，然后利用正、余函数的什么特点，把它扩展到整个实数R上的？

（3）本节课涉及哪些数学思想方法？

通过“变式训练”和“课堂小结（2）”，让学生进一步了解周期性在作图中的作用，以引起学生对周期性的注意和重视.

综上所述，教师在三角函数图像教学中，把三角函数图像与物理学科中的简谐运动发生联系，形成知识交汇点，通过物理实验，来得到周期变化的图像，进而让学生猜想三角函数的图像可能与之相似，引出课题.通过画正弦函数图像，让学生体验“周而复始”的变化规律，体会三角函数是典型的描述具有周期变化现象的数学模型，从感性上，加深了学生对三角函数的认识.同时，图像教学也突出了周期性的重要性和关键作用.