1（2020上海浦东一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、点E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、点E旋转后的对应点分别为点D′、点E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长为________.
第1题图
第2题图
3（2020上海徐汇一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A′B′C′D′，点A的对应点A′在对角线AC上，点C、D分别与点C′、D′对应，A′D′与边BC交于点E，那么BE的长是________.
第3题图
第4题图
5（2020上海金山二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于________.
第5题图
第6题图
7（2019泰安中考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________.
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标.
第11题图
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB=45°，求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长.
第12题图
（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值.
第13题图
14（2020上海普陀二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y=ax2-4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为点C，直线y=1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），连接BC、CD.
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标.
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标.
第14题图
15（2020上海杨浦二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限内一点，连接AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点.当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标.
第15题图
16（2019盐城中考）如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
第16题图
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图（b），过点M作MF⊥x轴，ME⊥AB，垂足分别为F、E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K.是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
第17题图
（1）直接写出点A、B、C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（异于点C），使以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
第18题图
19（2019达州中考）如图（a），已知抛物线y=-x2+bx+c过点A（1，0），B（-3，0），顶点为C.
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；
（3）如图（b），抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m-n的最大值.
第19题图
20（2020上海普陀一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），连接BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y.
（1）求BE的长；
（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长.
第20题图
21（2020上海长宁一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP=CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，连接PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP=x，平行四边形PQNM的面积为y.
（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；
（2）当点N在△ABC内时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值.
第21题图(www.xing528.com)
（1）如图（a），当AF⊥BN时，求EF的长；
（2）如图（b），当点E在线段BC上时，设BF=x，BD=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）连接DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长.
第22题图
23（2019上海宝山二模）如图（a），已知AB是圆O的直径，AB=10，点C为圆O上异于A、B的一点，点M为弦BC的中点.
（1）如果AM交OC于点E，求OE∶CE的值；
（2）如果AM⊥OC于点E，求∠ABC的正弦值；
（3）如图（b），如果AB∶BC=5∶4，D为BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究.
探究一：设BD=x，OF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域.
探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度.
第23题图
（1）如图（b），当点D与点B重合时，求x的值；
（2）当点D在线段AB上时，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上，设AE=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O的运动的过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围.
第24题图
（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径；
（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.
第25题图
26（2019宁波中考）如图（a），⊙O经过等边△ABC的顶点A、C（圆心O在△ABC内），分别与AB、CB的延长线交于点D、E，连接AE、DE，BF⊥EC交AE于点F.
（1）求证：BD=BE；
（2）当AF∶EF=3∶2，AC=6时，求AE的长；
①求y关于x的函数表达式；
②如图（b），连接OF、OB，若△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，求y的值.
第26题图
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如图（b），当DE∥AB时，求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由.
第27题图
28（2019济宁中考）如图（a），在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，延长AE交BC的延长线于点G，连接DG.
（1）求线段CE的长；
（2）如图（b），M、N分别是线段AG、DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设AM=x，DN=y.
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
第28题图
29（2019青岛中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm／s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm／s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD、OD于点F、G，连接OP、EG.设运动时间为ts（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（单位：cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE、OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
第29题图
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD=ED.
②连接BE，当DF=1时，求BE的长.
第30题图
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