中考数学强化训练：解决特殊三角形存在性问题

1在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N.如果△CAN是等腰三角形，则∠B=________.

2（2018上海徐汇模拟）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.如图，在△ABC中，DB=1，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为________.

第2题图

3如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=10，AD=2，∠B=45°.直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于________.

第3题图

4（2019九江模拟）如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与点D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是________.

第4题图

5（2019贵阳中考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径的长是________.

第5题图

6（2018上海静安一模）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4，AB=3.点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC是直角三角形时，BE的长为________.

第6题图

第7题图

8（2019河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8.点D为AB边上的一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E，把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，连接BA′，若△A′DB为直角三角形，则AD的长为________.

第8题图

9（2020上海浦东一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD.过点D作DE⊥DC交边BC于点E.

（1）当ED=EB时，求AD的长；

（2）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）把△BCD沿直线CD翻折，得到△CDB′，连接AB′.当△CAB′是等腰三角形时，直接写出AD的长.

第9题图

10（2018上海闵行一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上的中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，连接EF、DC交于点G.

（1）当∠EDF=90°时，求AE的长；

（2）CE=x，CF=y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）如果△CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值.

第10题图

11（2020上海崇明一模）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）.以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F.

（1）求证：AB·CE=BD·CD；

（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；

（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长.

第11题图

（1）求△ABC的面积；(www.xing528.com)

（2）设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长.

第12题图

（1）设AD=x，用含x的代数式表示DE的长；

（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长.

第13题图

（1）求抛物线F1的表达式；

（2）如图（b），将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD、CD、BC.

①求点D的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

第14题图

15（2020泸州中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD=5DE.

①求直线BD的解析式；

②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标.

第15题图

16（2020杭州江干模拟）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=90°，∠ABD=90°，AB=BD，BC=4（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F.

（1）求证：∠CAF=∠CBE；

（2）当点F在边BC上，AC=1时，求BF的长；

（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，求AC的长.

第16题图