高中数学教学设计研究：深度学习揭示数学本质

数学深度学习由三个维度构成：一是知识面的宽度，二是知识本质的深度，三是数学思想的高度。数学学习的过程不应仅仅是深度一个方向线性的变化过程，而应是三维立体的学习过程，这样才能真正落实好深度学习。

章建跃曾提出三个理解，“理解数学、理解学生、理解教学”，作为一名数学教师，首先要理解数学，要完成自身对数学知识本质的深层次理解，才能实现让学生在学习中加强对数学知识的理解。理解数学的本质，一是要把握数学知识的背景，二是要重视逻辑发展的连贯性，三是要理解知识背后反映的思想方法。

（一）理解数学的本质，就要了解数学知识的背景

数学学科是一门具有历史发展性的学科，可以从历史的角度去看待数学知识，每个知识的更新过程都揭示了其变革的创新之处和数学的进步之处。

在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教育关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，HPM）。数学教学与数学史的发展有着密切的联系，“以史为鉴可以知兴替”，数学发展的历史探索中，蕴含着知识本身存在的局限性以及创新性，在数学先人的探索中，数学知识顺应着其内在逻辑不断地进行扩展，形成新的概念、定理、推论等。深度学习注重挖掘知识的本质，数学史的发展可以让教学找到其“根源”，在数学历史长河中找到学习数学的价值。

数学家吴文俊曾说过“数学教育和数学史是分不开的”，一是教师要通过知识在数学史的发展去理解知识存在的必要性，分析每个知识的来龙去脉，抓住知识的本质，并理清学生已拥有的知识体系，去揣摩学生的接受度；二是教师通过感受先人巧妙的发现和算法去体会数学和理性思维的魅力，用数学去感化自己，再通过自身的感受去感化学生，增强学生对数学文化的喜爱；三是教师通过数学史的研究去体会数学思维的升级过程，有利于教师对课程的深层次理解。

在课程分析中，教师应了解数学知识的历史，找出能使学生感受到知识和认知发展中的困惑与冲突的关键点，使学生从中得到一些感受和反思，帮助学生感悟数学史，缩短与数学的距离，加深对概念本质的理解，提高创造性思维能力，从历史维度、认知维度和思想维度进行综合考虑。

例如，高中的《导数的几何意义》一课中，学生难以理解切线无限逼近的含义，教师就可以运用数学史中切线的发展来引领学生感受切线从静态到动态的发展过程，挖掘其微积分的背景。我国数学史中著名的割圆术可以很好地诠释以直代曲的数学思想，古文的描述非常准确，配以几何画板的多方位展示，可以让学生深刻体会以直代曲的数学思想，并在此基础上放大椭圆的一部分，使学生感受曲线的切线无限逼近的意义，潜移默化地形成以直代曲的思想。

（二）理解数学的本质，其次要尊重数学知识逻辑发展的连贯性(www.xing528.com)

教师应该关注本节要讲的数学知识与其他数学知识间存在的逻辑关系。例如，数系的扩充是中学知识中体现逻辑性的代表，它使得在原来规律内成立的规律在更大范围内依然成立。从小学阶段的自然数到初中阶段的正数与负数、有理数与无理数再到高中阶段的复数，就这样在前人的基础上进行完善，符合数学逻辑的前提下进行了新的创新。所以说，理解数学的本质就是要把教学内容看作一个整体，多方位地去观察与之相关且具有逻辑关系的其他内容，使学生有连续的学习体验。

（三）理解数学的本质，核心是感悟具体数学知识技能所蕴含的思想方法

数学思想蕴含在数学解决问题的过程中，经过不断地积累，得出数学的学习规律。数学课堂要想揭示数学知识背后蕴含的思想方法，可以从高站位来看待数学知识，即“高观点”。

何为“高观点”？德国数学家克莱因提出的“高观点”是指用高等数学的知识与方法来指导初等数学的教学。高等数学的知识结构和逻辑性更为深厚，教师可以从高等数学中体会知识背后所蕴含的数学思想，站在一定高度审视数学教学，更容易把握数学的本质，从而将抽象、晦涩的知识变得简单易懂，有利于对学生思想高度上的引导。深度学习的过程就是最大程度贴近知识自然发生的过程，在高观点的指导下，教师可以提升思维高度，深层次理解知识本质。

高中数学中有很多课题是来源于高等数学的。例如，不等式的证明可以用微分中值定理和柯西不等式来研究；幂函数以及函数的凸性来源于数学分析中的函数凹凸性；还有二项式定理是数学分析中麦克劳林展开式的基础；导数一章用到了积分的原理等^[1]。

教师可以偶尔给学生渗透相关联的数学思想和数学方法，一方面，虽说中学教学没有像对高等数学那样高标准的严格要求，但也可以通过其理念开阔学生的眼界，引起其对学习数学的兴趣；另一方面，高中数学内容对于高中生而言较为抽象，从“高观点”出发，可提高学生的认识高度，深刻理解知识内涵。但要注意，教师可以高站位地看待教学，但落实到教学环节时要由浅入深，将认知水平较低的部分作为引入，逐步深入探寻知识深层内涵。

克莱因在其《高观点下的初等数学》中提出，当观点变得越高时，事物就越显得简单^[2]。很多抽象晦涩难懂的概念和定理，之所以学生无法理解，是因为教师所给出的数学背景不足以解决学生所要考虑的问题，比如在实数域中对数函数的理解就比较浅显，教师要从复数域中看清其本质。这同时需要教师拾起自己的数学专业知识并不断学习高等数学理论，有了深厚的数学功底，就可以为学生灵活地提供“高观点”下的数学课堂，大道至简，让数学学习自然发生。