石头剪子布游戏的策略研究

对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、公安、经济和日常生活各个方面，都很有用处。由于对策论经常用智力游戏——打扑克、下棋等做模型，所以又叫博奕论。博就是赌博，奕就是下棋。其实，赌博如果去掉输赢财物的规定，就是智力游戏。

再举一个例子：有人要买外国一家公司的一条旧船。他知道这家公司有三条旧船，价格一样。双方商定先看一条船，如果他表示不要，再看第二条船，如果又表示不要，再看第三条船。既然三条船价格一样，他当然要尽可能买最好的，但是哪一条是最好的呢？

公司呢？它知道这次只能卖掉一条船，为了多赚一些钱，当然希望把最坏的一条卖掉，那它应该按什么顺序介绍呢？

这两个对策论的问题含意是不同的，但是在数学上，它们是相同的问题。

一般的对策问题都是这样：双方各有一些可以采取的策略，一旦双方的策略都确定了，就会出现一定的结果，问题是双方怎样找到最好的策略？

孩子们很喜欢的“石头、剪子、布”划拳游戏，就可以作为对策论的一个例子：甲乙二人同时伸出手来，做出石头、剪子、布的样子。两个人如果手势相同，就算平局；如果不同，石头可以砸坏剪子，剪子可以把布剪破，布可以把石头裹起来，那就有了胜负。

在这个问题里，甲和乙各有三种可以采取的策略。结果如何？我们列出一个输赢表来：

这是甲的“得分”表。“0”表示平局，“－1”表示输，“1”表示赢。

我们把对策问题列成这样的表，就成了“表上游戏”。这种表是由若干行和若干列数字组成。甲可以指定其中的某一横行，乙可以指定其中的某一直行。规定他们同时说出他们指定的横行或直行。在这两行的交叉点上的数，就是甲得到的分数。例如在这个表格里：

如果甲指定第二横行，乙指定第三直行，甲就得到－3分，也就是说输3分。

到此为止，我们为对策问题找到了一个数学模型。在代数课上，我们常常要为一个应用题列出方程式来。这个方程式就是应用问题的数学模型。有了数学模型，我们就可以暂时丢开原来的应用问题，全力去解决这个数学模型中的问题了。

所以现在，我们就暂时丢开什么“熊”呀，船呀，手势呀，全力以赴去研究这样的一个问题：(www.xing528.com)

在表上游戏中，怎样找出最好的策略。

现在我们在每一横行的后面和每一直行的下面，又写上了一个数。每个横行后面写的数，是这一行中最小的那个数。每个直行下面写的数，是这一行中最大的那个数。

从甲的立场来看，不管乙采用什么对策，他如果指定第一横行，那最不利的结果是－5，就是说输5分。同样，他如果指定第二横行，最坏的结果是－3，就是说输3分。可见每一横行的最小数表示的是：如果甲指定了这一行，可能发生的最坏结果是什么。

甲应该选哪一横行呢？当然是第三横行了。因为这一行的最坏情况，他也不过输1分而已。甲一旦采取了这个策略，那就不怕乙猜中他的策略，因为他已估计到最坏的情况了。当然，如果乙选择了别的策略，甲还有可能不输，甚至赢到一些分数。

从乙的立场来看，不管甲采取什么对策，如果他指定第一直行，那最不利的结果是－1，即甲只输1分，乙只赢一分。如果他指定第二直行，那对他最不利的结果就是6，即甲赢6分，乙输6分。可见每一直行的最大数表示的是：如果乙指定了这一行，可能发生的最坏结果是什么。

那么乙应选择哪一直行呢？当然是第一直行，因为这一行最坏的结果，他还可赢一分。

如果甲乙双方都研究过对策论，那这个游戏就变得十分简单了：甲选取第三横行，乙选取第一直行；结果甲输1分，乙赢1分。

如果甲乙双方都研究过对策论，那这个游戏就变得十分简单了：甲选取第三横行，乙选取第一直行；结果甲输1分，乙赢1分。

在对对策问题中，双方必须斗智，谁也不能胡乱来！不然就会陷入很不利的处境。比如说，甲不满意输一分的结局，想碰碰运气，指定了第二直行，争取那个胜6分。结果呢？如果乙不犯错误，指定第一直行，结果甲只能输得更多。因此对甲来说，最聪明的办法就是把自己的策略公开告诉对方，对方也不会得到任何额外的收获。同样，乙的最好的策略，就是指定第一直行。即使甲知道了乙的这个策略，对乙也无可奈何。

这样一来，这个游戏的结局就是确定无疑的了。