趣味数学教与学：探秘益智游戏十五子棋

有一种与魔方亲缘甚密的图形还原游戏，叫“十五子棋”：在有16个方格的盒子里，装着15块标有从1到15的数字的小方块，并留有一个空格。开始时，小方块是按随意的顺序放进盒子里的。游戏的要求是：有效地利用空格，调动小方块，使盒子上方块的数字还原到下图的正常位置。现在的问题是：这样做可能吗？

这是一个相当简单的游戏，几乎人人一看就会明白。然而有时我们能够轻易取得成功，但有时无论我们作怎样的努力，却无法取得成功！那么，奥妙究竟在哪里呢？

可能读者都已注意到，空格是能够移动到盒子的任何位置的。我们也很容易利用空格把方块依次调动到各自正常的位置上去。不过，当这三个棋子安顿好之后，想不动方块而把方块也移到正常位置上，却似乎有些为难。然而，用下图的办法我们却能实际上做到这一点。这里需要动到的只是一块2×3方格的区域；而且很显然，只要有一块2×3的方格区域；就一定能够做到这一点！方块3虽然动了一下，但后来又恢复到原先的位置。

现在方块已经在正常的位置上。接下去方块也可以同样恢复到正常位置。再接下去我们还可以把方块和移到各自正常的位置上。此时我们仍有2×3方格的地盘，正如前面说过的那样，在这一区域，我们依然可以把方块和各自安顿在正常的位置上。

至此，我们已经安顿好了12个方块，它们都已安在各自正常的位置上。剩下的位置是三个方块和一个空格。我们还容易把移到自己的位置，而把空格移至盒子的右下角。这时可能出现两种形式：

第一种是图（Ⅰ）的形式，此时所有的方块都已在正常的位置上，这表明我们已经取得了成功。第二种是图（Ⅱ）的形式。现在的问题是：图（Ⅱ）的形式还能不能通过移动变为图（Ⅰ）的形式呢？

答案是否定的！

事实上我们可以把所盒子里的方块看成一个数的顺列，而把空格当成数16。这样，图（Ⅰ）的顺列为

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16

而图（Ⅱ）的顺列则为(www.xing528.com)

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,15,13,14,12,16

现在读者看到：图（Ⅱ）的顺列与图（Ⅰ）正常的顺列相比，其中有些数字的位置被打乱了，有些大的数跑到小的数的前面去，这种现象我们称为“逆序”。逆序可以采用点数的办法算出来。例如图（Ⅱ）的顺列，前11个数都没有出现逆序，而后面的5个数为：

15,13,14,12,16

其中15跑到13、14、12这三个较小数的前面，因而出现了三个逆序；而13，14跑到12的前面，这里又出现了两个逆序。此外再也没有其他逆序了。因此图（Ⅱ）的顺列共有5个逆序。

稍微认真分析一下，读者便会发现：在“十五子棋”中，方块和空格的移动，都不会引起原先顺列逆序的奇偶性的改变！由于图（Ⅰ）的顺列为偶逆序，而图（Ⅱ）的顺列为奇逆序，因而图（Ⅱ）的形式是不可能通过方块棋子的移动变为图（Ⅰ）形式的。这就是为什么“十五子棋”有时能够成功，而有时不能成功的道理！

右图是一个跟“十五子棋”一样在4×4方格棋盘上进行的游戏。一只每个面都与方格一样大小的骰子放在右上角，点数·□朝上。现在让骰子在棋盘上一格一格地翻动，不许滑动也不许提起，要求最后翻到左下角，并使点数·□与图中的圆点重合。图中的虚线表明只要翻动8次便能达到目的。这大约是所需要的最少次数了！亲爱的读者，你能用自己的智慧，对这个似乎乏味的游戏进行数学上的分析吗？

左图是一道练习，请读者用逆序的理论判定一下，它是否能够移动成正常的位置？

一种游戏之所以使人感到兴趣，在于经一番奋斗之后，能突然间享受到一种成功的欢悦。如果一种游戏一开头便得知最终的结果，自然也就乏味多了。这大约既是数学的缺点，也是数学的伟大。