阿凡提是新疆维吾尔族民间的传奇人物、智慧的化身。有一个关于阿凡提巧取银环的故事，在新疆几乎家喻户晓。说的是：
一天，财主G对雇工M说：“我有一串银链，共有七个环。你给我做一周的工，我每天付给你一个银环，你愿意吗？”
M半信半疑。果然，G接着又说：
“不过，有一个条件，这串银链是一环扣着一环的，你最多只能断开其中的一个环。如果你无法做到每天取走一个环，那么，你将得不到这一周的工钱！”
M答应试试，但他立即发现事情有点为难，于是连忙去找阿凡提，请阿凡提替他出主意。果然，阿凡提想出了一种巧妙的办法，让财主G眼睁睁看着M把一只只银环取走。贪心的财主终于自食其果，搬起石头砸了自己的脚！
其实，财主的这道题并不难，无需借助于阿凡提的超人智慧，就是在座的各位读者，也完全能够想到以下的办法：即把这串银链的第三个环断开，使它分离为三个部分，这三个部分的环数分别是：
1,2,4。
这样，雇工M第一天可以取走单环，第二天退回单环而取走双环，第三天再取走一个单环，第四天退回单环和双环而取走一串四环，第五天再取走一个单环，第六天退回单环而取走双环，第七天再取走那个单环。至此，银链上的所有七个环都已到了M手上。
类似上述故事中的问题，也出现在美国数学游戏专家马丁·加德纳的《啊哈，灵机一动》一书，只是把“巧取银环”改成“巧断金链”罢了！
对于上述问题更为深刻的思考是：在允许割断m个环的条件下，最多能处理多长的链条（环数为n），才能做到在n天中，每天恰能支付一个环作为工钱？
为了找出m与n之间的关系，我们先考虑断开两个环，即m为2的情形。显然，此时环链断成了5个部分，其中有两部分是单环，可以支付头两天工钱。为了付第三天工钱，必
须用一串三环去换回两个单环。以上三部分环可够支付头五天的工钱，因此第四部分应当是6环，同理推出第五部分应当是12环。即这五个部分的环数分别是：
1,1,3,6,12
由此得：当m＝2时，n＝1＋1＋3＋6＋12＝23。类似地，当m＝3时，可求得环链割断成七部分的环数如下：
1,1,1,4,8,16,32。
从而 n＝3＋4（24－1）＝4.24－1＝63。
同理，当允许环链割断m个环时，环链被断成的2m＋1个部分的环数应为：
于是 n＝m＋（m＋1）（2m＋1－1）
＝(m＋1)2m＋1－1(www.xing528.com)
这，便是断链问题的一般性解答。
现在我们再看一看有关平面剖分的例子，它无疑要比上面的问题复杂很多。公元1751年，欧拉曾提出一道有趣的问题：一个平面凸n边形，存在多少种用对角线剖分成三角形的办法？
对此，欧拉本人求出了从D3开始的头七个剖分数：
1,2,5,14,42,132,429。
下图画出了D6为14的各种剖分情形
公元1758年，数学家西格纳找到了Dn的一种递推公式（式中假令D2＝1）：
Dn＝D2Dn－1＋D3Dn－2＋D4Dn－3＋…＋Dn－1D2
利用西格纳的公式，可以一步一个脚印地依次算出各Dn（n＝3，4，5，…）的值，只是当n很大时计算有点困难罢了！
本世纪初，数学家乌尔班在计算了
之后，惊奇地发现：对他计算过的所有数都有
他猜测这应该是一条真理！后来乌尔班果真用一种非常巧妙的办法证实了它。乌尔班的方法说来也不难，关键在于构造了一个函数g（x）
g(x)＝D2X2＋D3X3＋D4X4＋…＋DnXn＋…
并由西格纳的关系式推知g（x）满足二次方程：
W2－xW＋X3＝0
从而求得
上式展开后比较得到
由此证得：
用乌尔班的这个公式计算Dn，就连小学生也能做到。倘若欧拉在天之灵能够对此有知，想必也会叹为观止！
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