大敦穴的发现：不完全归纳法在日常生活和数学中的应用

《内经》是我国最古老的一部医学宝典，其中的《针刺篇》曾记载了这样一个故事：

有一个樵夫经常犯头痛病，但找不到治疗的办法。有一次，这个樵夫上山去砍柴，无意中碰破了足拇趾，出了一点血，但这时他却感到头部不痛了，当时他也没有在意。后来，他的头痛病复发，在砍柴时又偶然碰破了上次碰破过的地方，这时他的头痛病又好了，这次却引起了他的注意：奇怪，为什么碰破了这个部位，我的头痛病就好了呢？于是便记住了这个部位。以后，每当他犯了头痛病的时候，就有意识地去刺破这个部位，结果头痛病马上就好了，或是减轻了疼痛。这个樵夫所碰的部位，就是现在人体穴位中的大敦穴，它在足拇趾的指甲的外侧根部。

这个樵夫发现大敦穴的过程，就是采用了不完全归纳法。

我们知道，归纳推理是从特殊性的前提，推出一般性结论的一种推理方法，也就是从特殊到一般的推理方法。归纳推理又分为不完全归纳法和完全归纳法。

不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况出发，得出一般性结论的归纳推理，在日常生活中及数学中经常用到这种方法。

比如，人们通过实验，发现金能导电、银能导电、铜能导电、铁能导电、铅能导电……而从来没有发现不导电的金属，于是，人们便作出结论：一切金属都能导电。这种推理方法就是不完全归纳法。

又如，探求多边形的内角和公式时，先通过对四、五、六边形的研究，寻求规律，进而归纳出多边形的内角和公式。

在求四边形的内角和时，引它的一条对角线，则四边形被分成两个三角形，于是得到四边形的内角和为

(4－2)×180°＝360°

在求五边形的内角和时，从它的一个顶点引出两条对角线，则五边形被分成三个三角形，于是得到五边形的内角和为

(5－2)×180°＝540°

在求六边形的内角和时，从它的一个顶点引出三条对角线，则六边形被分成四个三角形，于是得到六边形的内角和为

(6－2)×180°＝720°

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一般地，当多边形的边数为n时，它的内角和为

(n－2)×180°

这种推导多边形内角和公式的方法也是不完全归纳法。

我们再来看一个例子：

先观察几个式子：

1＋3＝4＝22

1＋3＋5＝9＝32

1＋3＋5＋7＝16＝42

1＋3＋5＋7＋9＝25＝52

……

这里有什么规律呢？我们看到，等式的左边是从1开始的连续奇数的和，等式的右边是一个完全平方数，左边有几个奇数，右边就是奇数个数的平方。

由此总结出：

这种总结规律的方法采用的也是不完全归纳法。