高校数学教学中的归纳与演绎

归纳方法是指通过个别事实分析去引出普遍结论的逻辑方法。由于普遍是由大量特殊所组成，通过由特殊寻找或发现一般规律是归纳方法的基本核心。归纳方法按照它的概括对象的范围或性质可分为完全归纳法、不完全归纳法和因果联系归纳法。完全归纳在前提判断中，已对结论的判断范围全部做出了判断，具有确凿可靠性；不完全归纳是从部分推广到全体，归纳的结论具有不可控成分，但它是强有力的“发现”的基础；因果联系归纳是通过对事物对象的因果分析，推出该类事物中所有对象都具有某一属性。

归纳方法的本质在于从已知到未知、从特殊到普遍、从经验事实到事物内在规律性的飞跃。在数学学习中完全归纳法尽管是真实的推理，但全部归纳由于认识或不能穷尽原因具有一定的局限性。因此，一般采用不完全归纳法。尽管不完全归纳法的结论具有似真性，但在数学研究或学习中是不可缺少的。首先，它的结论是对经验事实的初步判断，至少是局部的概括，对全局有一定的参考。其次，根据局部概括，可以启发观点。如果没有初步的概括，就不可能形成较为深刻的科学结论。教学中要注重培养学生归纳的思想，对所学知识进行归纳、整理，从整体上把握研究对象的规律性，以便在实践中灵活运用。

演绎方法是从一般到个别的认识方法，即从已知的一般原理出发来考察某一特殊的现象，并判断有关这个对象的属性的方法。演绎方法的作用体现在两个方面：首先，它的推理无懈可击。数学学习中，根据已知事实去论证或推出一个真实的结论就是演绎方法的意义。其次，它可以发现已有认识中的错误。在数学学习中，要重视用演绎法检验学习中、解题中是否存在逻辑错误。完全归纳法与演绎法是数学论证和表达的主要方法，个性中包含着共性，特殊中孕育着一般，按照对象的构成去观察归纳，可以形成探索性的观点，一旦这种观点达成，就可获得一种可以预见的成功。如果没有不完全归纳的初步概括，人们就无法形成抽象的科学结论。

归纳方法与演绎方法作为一种完整的数学逻辑方法相互依存，彼此间存在辩证统一的关系。一方面，归纳方法是演绎的基础，演绎的出发点正是归纳的结果；另一方面，归纳离不开演绎，演绎是归纳的来源之一，又指导和补充归纳，同时概括出某种共同的特征也需要演绎的充分配合。这就是说，在由特殊到一般的过程中，由归纳获得初步概括，再由演绎获得新的层次上的归纳，依层上升达到归纳的目的。因此，归纳与演绎互为条件并相互转化，归纳出来的结论可以转化为演绎的前提，演绎的结论又可指导和验证归纳。

（一）概念角度

数学概念教学一般包括：概念的引入，概念的表述，概念的辨析，概念的应用。概念的形成，要从实例和具体经验出发，通过观察、分析、比较、归纳、猜想、抽象、概括等思维过程获得概念的意义，深化概念的理解。基于概念的形成特点和归纳的思维过程，下面选择“二元一次方程组”为教学主题，按照“创设问题情境，提供归纳材料—观察分析—归纳共性—抽象概括—深化理解—反思归纳”的过程进行。具体如下：

1.创设问题情境，提供归纳材料

一方面为学生提供归纳素材，另一方面让学生在尝试解题的过程中感受新知识解决现有问题产生认知的冲突，从而产生学习新知的渴望。

2.观察分析

学生在具体问题情境中，借助已有知识基础，通过分析题意，找出数量关系，进而在已设的基础上列出相对应的方程，并观察各个方程的特点。

3.归纳共性

在观察分析的基础上，归纳出各个方程未知数的次数、项数特点，并思考用文字语言怎么表述。在此阶段，由于学生知识水平的差异，观察视角的不同，可能会出现不同的表述形式，这时教师就要引导学生分析他们表述形式的差异性，进而形成对该类型方程的整体性认识。(www.xing528.com)

4.反思归纳

此阶段，一方面反思整个学习过程中的归纳活动及思维方式，另一方面反思二元一次方程组的本质特征，同时结合已有知识进行系统地总结。

在概念教学中进行归纳活动提升学生的归纳推理能力时，关键是要将归纳推理的思维方式渗透到知识中，而不是将现成的数学知识直接呈现给学生，让学生被动地接受。要从学生的心理发展特点及现有的知识水平出发，对课本材料重新加工，以变成学生乐于接受并能够理解概念本质的情境材料，达到知识升华的目的。

（二）命题原理角度

数学命题是表示概念具有某性质或概念之间具有某种关系的判断，其主要形式是公式、定理、原理及法则。命题学习以概念学习为基础，主要学习过程包括命题的获得、命题的证明、命题的应用。在命题教学过程中，关键是让学生参与到命题是如何获得的过程中及命题证明方法的探索过程中，以此体悟归纳推理的思维活动，积累数学活动经验。

在命题教学过程中，教师要尽量再现命题是如何获得的过程，构造教学情境，让学生经历再发现、再创造的过程，通过观察、对比、分析，形成猜想，并能探索严密的论证方法，最后在学习活动结束后，又能主动归纳获得命题的方法及反思命题形成及论证过程中遇到的障碍。这对学生的长远发展也是大有裨益的。

（三）解题角度

在新课程观念的影响下，解题教学就是要教给学生解题的方法，形成良好的解题思维习惯，即在解题之后能够对该类题的困惑进行反思，以及这类题考察的知识点、解题方法都是什么，如果能力允许的话可以对题型进行改编，进行思维的“再创造”过程。在解题过程中，学生不断尝试，突破解题困惑，借助特例形成猜想找到解题思路，这也是学生归纳推理能力不断提升的过程。

问题解决，考察的是一个学生的综合能力。这就要求学生能在分类的基础上，运用归纳的思维将已有的知识系统化，同时在遇到问题时，能够在理清题意的基础上，借助已有知识框架，用归纳的思维策略探寻解题思路。这需要教师在平常的教学过程中多引导，学生在学习活动中多反思、多归纳。

用演绎推理解答问题的方法是演绎方法。其特点是，所引用作为论据的是一般原理。使用演绎方法要注意把一般原理正确地、恰当地应用到位。由于数学是演绎发展的结构，大量的问题都是由演绎推理形成的，所以掌握数学就意味着要掌握演绎的方法。

归纳方法是由具体、特殊、个别到一般的方法，在归纳过程中，演绎方法起着更重要的作用。