（一）推理
推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维形式。判断可以直接经过观察、试验等得到，有的则需要推理，推理是比判断更高一级的思维形式。推理同概念、判断一样，也是客观现实的反映。“推理由两部分组成，前提和结论。进行推理化推出一个新判断的那些已知的判断，叫作推理的前提；从前提通过推理得到的新的判断，叫作结论。”构成推理的这种判断间的特殊联系，就是前提和结论的关系。数学中常把推断作为命题来运用，所以数学推理是由已知判断推出新命题的思维形式。
（二）推理能力
本书把“推理能力”的概念界定为在数学活动中，借助合情推理了解活动对象，获得数学猜想，并用演绎推理对得到的猜想加以证明。
（三）推理的构成
1.合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论包括定义、公理、定理等实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
合情推理的前提正确无误，而结论不一定为真，它不能作为数学中严格论证的方法，但具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，具有创造性，在数学发现、发明中有重要作用，有利于创新意识的培养，对培养学生的创造性思维能力也有着重要的训练价值。合情推理常用的形式有不完全归纳推理、类比推理。
（1）不完全归纳推理。从个别事实中概括出一般原理的推理模式，即从特殊到一般的推理，一般指不完全归纳推理。
不完全归纳推理形式为：
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
S3具有（或不具有）P
..….
Sn具有（或不具有）P
所以S具有（或不具有）P
其中：S1、S2、S3、……Sn是S类的部分对象。
虽然不完全归纳法不能作为严格的数学论证方法，但在探索数学真理的过程中能迅速发现一些客观事物的特征、属性和规律，为我们提供研究方向。(www.xing528.com)
（2）类比推理。类比推理是从特殊到特殊的推理，是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一属性，从而推出另一个对象也具有与该属性相同或相类似的性质。
类比推理的形式：
对象A具有性质：a1，a2，a3，…an，M
对象B具有性质：a1′，a2′，a3′，…an′，M′
（a1与a1′，a2与a2′，…，an与an′相同或相似）
对象B：具有性质M’（M与M′相同或相似）
类比推理是以比较为基础，在对两个对象的某些属性进行比较时，发现它们相同或相似，则可以把其中一个对象具有的另外一些属性转移到另一对象上去。类比推理的客观基础是两个相似事物具有同一性，但任何两个相似事物除了同一性之外，还具有差异性。两个对象在某些属性相同或相似，并不一定得出它们在其他方面也相同或相似的结论。
2.演绎推理
演绎推理是由一般性的命题推出特殊命题的一种推理模式。也是由一般至特殊的思维方法。
演绎推理的常用形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理。三段论式推理的一种格式，可用以下公式表示：
大前提M属于P（M是P）
小前提S属于M（S是M）
结论S属于P（S是P）
三段论的公式中包括三个判断，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理；第二个判断称为小前提，它指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论。
演绎推理是一种必然推理。演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的。
（四）论证
论证是借助于真实性已经确定的判断，再借助推理来确定另一个判断的真假的思维过程。任何证明都是由论题、论据和论证三个部分组成。真实性需要加以确定的判断称为论题，被引用作为论题真实性的判断称为论据。论证是指通过一系列的推理来证明论题真实性的过程。整个证明是由论题和论据通过论证联系起来的。
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