高效数学教学中的变式教学及研究成果

（一）变异维度、教学度与可能的学习空间的创设

1.学习是一种体验

体验事物的某一方法是现象图示学的研究单元。那么究竟什么是体验？在现象图示学看来，所谓的体验与我们的意识在某一瞬间被结构化的方式有关。为了体验某一对象，如，一个物理对象、一个文本或者“数”“力”等概念，该对象的某些方面必须从其背景中被辨识，同时将这些方面与整体进行比较，并被同时置于焦点意识内。

2.教师的教学度、认识度与变异空间的构建

当内容的某一方面保持不变而其他的发生变化时，变异的一个维度就产生了。让我们先来看以下两位教师在教正方形的定义的过程中是如何将变式展现给学生的。第一位教师根据正方形的图形，先关注四个角，向学生指出它们都是直角，接着，关注四条边及其关系（四边相等，对边互相平行），最后，给出正方形的定义；而第二位教师，也关注到了相同的方面：四个内角和四边，但不是直接介绍，而是通过角和边的变异给出。将正方形与菱形的角进行比较，给学生展示了角大小的变异，即“角的大小”这一维度的变异，学生可以体验角度大小这一变异维度中的一个值：直角。同时，改变正方形的其他方面，形成其他的变异维度：边的长度、边的条数以及不同的正方形（指边长不同）等。例如，通过指出日常生活中的正方形，如，正方形的地板砖、骰子的六个面、棋盘中的正方形等。(www.xing528.com)

鲁恩（Runesson）曾经研究过五个数学教师在教分数与百分数时是如何把握教学内容的。他的研究表明，五位教师共形成了三个不同的学习目标。第一个学习目标，通过同时关注问题的正确解答以及合适的解题过程，由教师提供一些替代性的解题策略，它们要么是抽象的、符号化水平，要么是具体的、操作水平；第二个学习目标，不再关注正确答案的获得，分数的意义成为教学活动的中心，既关注过程性的方面，又关注概念性方面，但是，教师创设和控制了变异；第三个学习目标，在学生构想分数概念的过程中，通过变异，一个数学结构被构建了，而在师生或学生自己用不同的方法解决一些具体问题后，借以回顾和反思，数学又被重构了，学生有自己形成变异的机会。相关的研究还发现，当教师传授某一内容给学生时，它们往往关注主题化内容的某些方面，而不关注或非主题化其他方面；变异在构建学习对象过程中起很重要的作用；尽管这些老师使用不同的方法关注教学内容的关键性方面，但他们都表现出使用变式的能力或意向，但在访谈中，这些教师似乎没有明确表达出对变式的使用，所以，对变式使用的能力或意向，也似乎是一种“缄默知识”或者是一种“操作中的知识”。许多教师无意之中在自己的教学中使用了变式，有的教师可能创设了一些变异维度但自己却没有意识到。“如果教师能够识辨教学内容的那些关键性方面，那么就更有可能讲明白这些关键性的方面，并且针对这些变式构建相应的变异空间”。

教师应能够同时识辨教学内容的关键性方面和学生学习的关键性方面。教师对具体的教学内容所设计的变异与教师对教材内容的认识与理解的程度有关，把“某一内容在课堂教学中所实际施教（主要指教）的程度叫作该内容的教学度”。很显然，某一内容的教学度因人而异。这是因为教学度与教师对教材内容的理解与把握的程度有关，把教师对某一教材内容（包括教案设计及教学方法的理论依据）的认识与理解的程度叫作该内容的认识度。

（二）促进数学理解的变式训练

有学者认为“变式训练”就是通过变式的方式进行技能和思维的训练，但变式训练的功能是否仅限于此呢？变式是基本技能与过程能力的桥梁，而建立在变式基础上的重复可能导致理解。许多的研究认为变式训练“看似简单重复，其实是不断求新变化，通过逐渐积累，甚至由量变到质变，得到新的认识”。学生数学思维能力的提高以及独立工作能力的形成，主要取决于有关变式问题的长期训练，而不是死记硬背。正是由于重复学习与记忆的综合，学习者得以辨别那些潜在的概念。