衍生品定价中的Delta模型误差比较

在这一部分，我们首先对Delta复制策略和参数复制策略下，不同复制频率、不同近似模型的复制误差及其基本统计性质进行分析，从而对假说1和假说2进行验证，对不同模型的模型风险获得初步的认识。具体结果报告在表4.1和表4.2中。基于第3章中的分析，其中最具有信息含量的是复制误差的标准差数据，可以用于比较不同近似模型、不同复制策略的模型风险的稳定性。

表4.1和表4.2向我们揭示了许多有趣的现象：

第一，在不同的复制策略、复制频率和到期时间长度下，总体而言BSM模型的复制误差最小。具体来看，在简单的Delta复制策略下，如果从复制误差的均值来看，除了SABR模型在各种复制频率和时间长度下表现都比较差之外，其他3种近似模型各有千秋，难分高下；但如果从复制误差的标准差来看，BSM模型在各种情形下均为最优，也就是说，BSM模型复制误差的波动最小。而在参数复制策略下，无论从复制误差的均值还是标准差来看，简单的BSM模型均表现最好，远远胜过其他更为复杂的模型。这个发现再一次向我们证实了一个规律：简单的，常常反而是最好的。

第二，在不同的近似模型下，参数复制策略和Delta复制策略各有优劣。图4.1～4.4比较了不同近似模型下，两种复制策略复制误差的标准差。可以看出，如果采用BSM模型作为近似模型，从复制误差均值和标准差来看，参数复制策略基本都优于Delta复制策略；如果采用局部波动率模型，两种复制策略差异不大；在Heston-Nandi模型下，参数复制误差的标准差总体较小，复制误差相对稳定；但在SABR模型下，参数复制误差却表现出很高的波动，明显劣于Delta复制策略。大体可以看出，采用简单模型进行复制时，策略可以略为复杂一些，参数复制策略较优；模型较为复杂时，我们的模拟结果倾向于较为简单的Delta复制策略。

第三，从复制频率上看，除了在BSM模型下、采用Delta复制策略时，5分钟复制频率的复制误差波动比较明显地大于1分钟复制频率的复制误差波动，其他情形下，每5分钟复制一次和1天复制一次差异不大，这意味着在真实对冲的时候如果将交易成本纳入考虑，复制频率过高并不一定是最好的。

第四，观察表4.1和4.2可以发现，在不同的复制策略和复制频率下，各个近似模型复制误差的均值都为正数，并且随着时间长度的增加而减小。这主要是因为真实模型假设为SVJ模型，而SVJ模型由于考虑了更多的风险源（同时考虑扩散、跳跃和随机波动率三个风险源），其价格必然高于其他模型的模型价格；而随着期权期限的延长，这种模型间的定价差异会逐渐减小。这个问题从复制角度进行分析就是：定价误差为正，容易导致复制误差也为正；而当正的定价误差随时间延长而减小时，复制误差也同样随之减小。

需要再次强调的是，在进行数值模拟时，这样的现象，即由于假设的真实模型的自身性质所引起的定价高低估对模型风险的研究并没有影响。因为本章的研究目的并不在于衡量绝对的模型风险，而在于比较各个模型之间的相对模型风险，关注的是近似模型复制误差的相对变化和相对稳定性。

表4.1　Delta复制策略的复制误差（50次模拟）

续表(www.xing528.com)

注：括号中表示复制频率为每天1次或5分钟1次。

表4.2　参数复制策略的复制误差（50次模拟）

续表

注：括号中表示复制频率为每天1次或5分钟1次。

图4.1　各近似模型的复制误差标准差比较

总之，表4.1和4.2的数据结果同时检验了假说1和假说2，结论表明无论模型的差异还是复制策略的差异都会对复制误差产生影响。在对香草期权（vanilla options，即普通的欧式看涨期权和欧式看跌期权）进行复制时，BSM模型，尤其是BSM模型下的参数复制策略相对表现较好；如果采用较为复杂的模型，则尽量使用简单的复制策略；在复制频率方面，5分钟一次并不明显优于每天一次。由于实证研究表明SVJ模型较好地刻画了现实市场的资产价格随机过程，上述结论对现实市场具有较大的参考价值。

然而，必须说明的是，由于本章模拟复制的对象是香草期权，此处的结论（包括本章接下来的研究结果）都仅针对香草期权成立。普通欧式期权的回报函数中不包含其他状态变量，因此BSM模型的简洁性质带来了复制误差的稳定性。但对于一个回报函数中含有其他状态变量的衍生品（如高阶矩衍生品等），上述结论就未必成立。但本章中的模拟方法、研究视角和考察思路则具有一般性。当遇到复杂衍生品时，交易员可以用本章的方法检验其模型风险以及复制误差的特征与性质。